Калькулятор векторов
Основы векторной алгебры
Что такое вектор?
Вектор -- это направленный отрезок, характеризующийся длиной (модулем) и направлением. В координатном представлении двумерный вектор задаётся парой чисел (x, y), а трёхмерный -- тройкой (x, y, z).
Скалярное произведение
Скалярное произведение двух векторов -- число, равное сумме попарных произведений координат. Геометрически оно связано с углом между векторами и используется для определения проекций, работы силы и ортогональности.
Векторное произведение
Определено только в трёхмерном пространстве. Результатом является новый вектор, перпендикулярный обоим исходным. Его модуль равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Где применяются вектора
Векторная алгебра -- универсальный инструмент в науке и технике.
Физика и механика
Сложение сил, расчёт момента силы (через векторное произведение), работа силы (через скалярное произведение), скорости и ускорения.
3D-графика и GameDev
Повороты объектов, расчёт нормалей к поверхности, освещение (модель Фонга), камера и перспективная проекция.
Робототехника
Кинематика манипуляторов, планирование траектории, ориентация звеньев в пространстве, обратная кинематика.
Навигация и геодезия
Определение курса, расстояния между точками на сфере, вектор скорости ветра, триангуляция.
Инженерия и строительство
Расчёт равнодействующей нагрузок, анализ напряжений, проектирование конструкций, аэродинамика.
Machine Learning
Вектора признаков, word2vec-эмбеддинги, косинусная близость, градиентный спуск, ядра SVM.
Справочник формул
Полный набор формул для работы с векторами в двух и трёх измерениях.
Сложение и вычитание
Умножение на скаляр
При k < 0 вектор меняет направление на противоположное.
Длина (модуль) вектора
Для 2D: |A| = sqrt(ax² + ay²)
Единичный вектор (орт)
Вектор длины 1, сонаправленный с исходным.
Скалярное произведение
Векторное произведение (3D)
az·bx - ax·bz,
ax·by - ay·bx)
Угол между векторами
Проекция A на B
Площадь параллелограмма и треугольника
Углублённые темы
Вектора -- фундамент высшей математики и современной физики.
Векторные пространства
Абстрактное обобщение понятия вектора. Множество объектов, для которых определены операции сложения и умножения на скаляр, удовлетворяющие аксиомам (замкнутость, ассоциативность, существование нуля и обратного).
Собственные векторы и значения
Собственный вектор матрицы A -- это ненулевой вектор v, для которого Av = lambda*v. Число lambda -- собственное значение. Используются в PCA, анализе устойчивости, квантовой механике.
Тензоры
Обобщение скаляров (тензор ранга 0), векторов (ранга 1) и матриц (ранга 2) на произвольный ранг. Тензоры описывают напряжения, деформации, электромагнитное поле (тензор Фарадея) и метрику пространства-времени.
Кватернионы
Расширение комплексных чисел с тремя мнимыми единицами (i, j, k). Кватернионы -- наиболее эффективный способ представления вращений в 3D-пространстве. Не подвержены проблеме gimbal lock (в отличие от углов Эйлера).
Практические советы
Полезные рекомендации для работы с векторами.
Проверяйте ортогональность
Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, они перпендикулярны. Это быстрая проверка без вычисления угла.
Нормализуйте перед сравнением
Для сравнения направлений приведите вектора к единичной длине. Косинусная близость -- стандарт в ML и NLP.
Используйте правило правой руки
Для определения направления векторного произведения: четыре пальца от A к B, большой палец -- направление A x B.
Помните о некоммутативности
Векторное произведение антикоммутативно: A x B = -(B x A). Порядок множителей меняет знак результата.
Декомпозиция по базису
Любой вектор можно разложить по базисным: v = v_x*i + v_y*j + v_z*k. Это основа координатного метода.
Площадь через модуль
Модуль векторного произведения -- площадь параллелограмма. Половина -- площадь треугольника. Удобно в вычислительной геометрии.
Как пользоваться калькулятором
Выберите размерность
Переключите режим между 2D и 3D с помощью кнопок в верхней части калькулятора. В 2D-режиме координата Z не используется.
Введите координаты векторов
Заполните поля X, Y (и Z для 3D) для вектора A и, при необходимости, вектора B. Можно использовать целые и дробные числа.
Выберите операцию
Нажмите на нужную операцию: сложение, произведение, длина, угол и другие. Для 3D доступны дополнительные операции (векторное произведение, площадь).
Получите результат
Нажмите "Рассчитать". Вы увидите числовой результат, пошаговое решение с формулами и графическую визуализацию векторов (для 2D).
Часто задаваемые вопросы
Похожие калькуляторы
Калькулятор матриц
Вычисление определителя, обратной матрицы, ранга и собственных значений. Удобный интерфейс с решением.
/matrix-calculatorКалькулятор научной нотации
Конвертер чисел в научную (экспоненциальную) и инженерную нотацию. Перевод стандартного вида числа онлайн.
/scientific-notation-calculatorКалькулятор СЛАУ (метод Гаусса)
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса онлайн. Подробный ход решения матричным методом.
/linear-equation-solverКалькулятор тригонометрии
Вычисление sin, cos, tan, cot, sec, csc. Решение треугольников, радианы/градусы, тригонометрические уравнения.
/trigonometry-calculatorКалькулятор оптимизации: симплекс, рюкзак, генетика
Решение задач оптимизации: линейное программирование (симплекс-метод), задача о рюкзаке и генетические алгоритмы. Поиск минимума/максимума.
/optimization-calculatorКалькулятор дробей (смешанные и неправильные)
Конвертер дробей онлайн. Перевод смешанных чисел в неправильные дроби и наоборот с подробным решением.
/fraction-calculatorКалькулятор НОД и НОК
Быстрый расчет НОД и НОК для любых чисел. Разложение на простые множители (факторизация) онлайн.
/gcd-lcm-calculatorКалькулятор комбинаторики
Перестановки P(n), сочетания C(n,k), размещения A(n,k) и вариации с повторениями. Факториал, биномиальные коэффициенты.
/combinatorics-calculatorКалькулятор комплексных чисел
Сложение, вычитание, умножение, деление, модуль, аргумент, степень, корень комплексных чисел. Визуализация на плоскости.
/complex-number-calculatorКалькулятор производных и интегралов
Символьные и численные методы, пошаговые решения. Поддержка сложных функций и прикладных задач.
/derivative-integral-calculatorКалькулятор чисел Фибоначчи
Вычислите n-е число Фибоначчи, проверьте принадлежность числа ряду, найдите золотое сечение. Формула Бине.
/fibonacci-calculatorКалькулятор золотого сечения
Пропорции золотого сечения (phi = 1.618). Для дизайна, архитектуры, фотографии. Прямоугольник и спираль.
/golden-ratio-calculatorКалькулятор сумм рядов
Арифметическая и геометрическая прогрессии, степенные ряды, ряды Тейлора. N-й член, сходимость.
/series-sum-calculatorКалькулятор Монте-Карло симуляции: оценка рисков
Прогнозирование стоимости активов и оценка рисков методом Монте-Карло. Расчет распределения вероятностей, VaR и волатильности.
/monte-carlo-simulationКалькулятор процентов
Посчитать проценты от числа, прибавить или вычесть процент, найти разницу. Удобный онлайн калькулятор с формулами.
/percentage-calculator
Был ли этот калькулятор полезен?
Инструмент справочный — не заменяет эксперта
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Профессиональные решения — медицинские, финансовые, инженерные — должны приниматься только после консультации с квалифицированным специалистом. Не используйте автоматический расчёт как единственное основание для важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший из-за использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию результатов.