Калькулятор векторов
Основы векторной алгебры
Что такое вектор?
Вектор -- это направленный отрезок, характеризующийся длиной (модулем) и направлением. В координатном представлении двумерный вектор задаётся парой чисел (x, y), а трёхмерный -- тройкой (x, y, z).
Скалярное произведение
Скалярное произведение двух векторов -- число, равное сумме попарных произведений координат. Геометрически оно связано с углом между векторами и используется для определения проекций, работы силы и ортогональности.
Векторное произведение
Определено только в трёхмерном пространстве. Результатом является новый вектор, перпендикулярный обоим исходным. Его модуль равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Где применяются вектора
Векторная алгебра -- универсальный инструмент в науке и технике.
Физика и механика
Сложение сил, расчёт момента силы (через векторное произведение), работа силы (через скалярное произведение), скорости и ускорения.
3D-графика и GameDev
Повороты объектов, расчёт нормалей к поверхности, освещение (модель Фонга), камера и перспективная проекция.
Робототехника
Кинематика манипуляторов, планирование траектории, ориентация звеньев в пространстве, обратная кинематика.
Навигация и геодезия
Определение курса, расстояния между точками на сфере, вектор скорости ветра, триангуляция.
Инженерия и строительство
Расчёт равнодействующей нагрузок, анализ напряжений, проектирование конструкций, аэродинамика.
Machine Learning
Вектора признаков, word2vec-эмбеддинги, косинусная близость, градиентный спуск, ядра SVM.
Справочник формул
Полный набор формул для работы с векторами в двух и трёх измерениях.
Сложение и вычитание
Умножение на скаляр
При k < 0 вектор меняет направление на противоположное.
Длина (модуль) вектора
Для 2D: |A| = sqrt(ax² + ay²)
Единичный вектор (орт)
Вектор длины 1, сонаправленный с исходным.
Скалярное произведение
Векторное произведение (3D)
az·bx - ax·bz,
ax·by - ay·bx)
Угол между векторами
Проекция A на B
Площадь параллелограмма и треугольника
Углублённые темы
Вектора -- фундамент высшей математики и современной физики.
Векторные пространства
Абстрактное обобщение понятия вектора. Множество объектов, для которых определены операции сложения и умножения на скаляр, удовлетворяющие аксиомам (замкнутость, ассоциативность, существование нуля и обратного).
Собственные векторы и значения
Собственный вектор матрицы A -- это ненулевой вектор v, для которого Av = lambda*v. Число lambda -- собственное значение. Используются в PCA, анализе устойчивости, квантовой механике.
Тензоры
Обобщение скаляров (тензор ранга 0), векторов (ранга 1) и матриц (ранга 2) на произвольный ранг. Тензоры описывают напряжения, деформации, электромагнитное поле (тензор Фарадея) и метрику пространства-времени.
Кватернионы
Расширение комплексных чисел с тремя мнимыми единицами (i, j, k). Кватернионы -- наиболее эффективный способ представления вращений в 3D-пространстве. Не подвержены проблеме gimbal lock (в отличие от углов Эйлера).
Практические советы
Полезные рекомендации для работы с векторами.
Проверяйте ортогональность
Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, они перпендикулярны. Это быстрая проверка без вычисления угла.
Нормализуйте перед сравнением
Для сравнения направлений приведите вектора к единичной длине. Косинусная близость -- стандарт в ML и NLP.
Используйте правило правой руки
Для определения направления векторного произведения: четыре пальца от A к B, большой палец -- направление A x B.
Помните о некоммутативности
Векторное произведение антикоммутативно: A x B = -(B x A). Порядок множителей меняет знак результата.
Декомпозиция по базису
Любой вектор можно разложить по базисным: v = v_x*i + v_y*j + v_z*k. Это основа координатного метода.
Площадь через модуль
Модуль векторного произведения -- площадь параллелограмма. Половина -- площадь треугольника. Удобно в вычислительной геометрии.
Как пользоваться калькулятором
Выберите размерность
Переключите режим между 2D и 3D с помощью кнопок в верхней части калькулятора. В 2D-режиме координата Z не используется.
Введите координаты векторов
Заполните поля X, Y (и Z для 3D) для вектора A и, при необходимости, вектора B. Можно использовать целые и дробные числа.
Выберите операцию
Нажмите на нужную операцию: сложение, произведение, длина, угол и другие. Для 3D доступны дополнительные операции (векторное произведение, площадь).
Получите результат
Нажмите "Рассчитать". Вы увидите числовой результат, пошаговое решение с формулами и графическую визуализацию векторов (для 2D).
Часто задаваемые вопросы
Похожие инструменты
Калькулятор водосточной системы
Расчёт водостока: желоба, трубы, воронки, кронштейны, хомуты.
Генератор favicon из текста
Создание иконки сайта (favicon) из буквы, эмодзи или символа. Генерация ICO, PNG, SVG для всех устройств с готовым HTML-кодом.
Калькулятор микологии
Скорость роста колоний грибов, подсчёт спор, МИК антимикотиков, микотоксины, биоэффективность грибоводства, определитель грибов.
Лыжный калькулятор: подбор лыж, расход калорий, экипировка
Онлайн калькулятор для лыжников. Подбор длины лыж по росту и весу, расход калорий, выбор мази по температуре, стоимость экипировки и ски-пассов.
Калькулятор стоимости обучения и налогового вычета
Расчёт полной стоимости обучения в российских вузах, налоговый вычет 13% (лимит 150 000 руб./год с 2024), сравнение вузов и перевод на бюджет.
Калькулятор углеводной загрузки
Расчёт углеводной загрузки для марафона и спортивного питания. Граммы углеводов по дням.
Калькулятор мыловарения (SAP числа)
Щёлочь (NaOH/KOH) для холодного и горячего мыловарения. SAP числа масел, пережир, вода.
Калькулятор стоимости эвакуатора
Расчёт стоимости эвакуатора: расстояние, тип авто, время суток, город. Сравнение тарифов по городам России.
Калькулятор расхода пряжи для вязания
Расчёт расхода пряжи по типу изделия, размеру и толщине нити. Шарф, шапка, свитер, плед.
Калькулятор возраста кошки
Расчёт возраста кошки в человеческих годах с учётом породы и условий содержания
Конвертер диоптрий ↔ фокусное расстояние
Перевод оптической силы (диоптрии) в фокусное расстояние и обратно. Онлайн калькулятор для физики и оптики.
Калькулятор интерференции и дифракции волн
Интерференция двух волн, опыт Юнга, дифракционная решётка, тонкие плёнки. Визуализация волновых паттернов.
Калькулятор ветровой нагрузки: СП 20.13330, районы, k(z)
Расчёт ветровой нагрузки по СП 20.13330: статическая и пульсационная составляющие, коэффициент k(z), аэродинамика.
Калькулятор фанеры
Расчёт количества листов фанеры для пола, стен и потолка. ФК, ФСФ, ФБС. С учётом отходов. ГОСТ 3916.1-2018.
Калькулятор ROC и AUC (точность, чувствительность)
Построение ROC-кривой, расчет AUC и метрик классификации (Accuracy, F1, Recall, Precision).
Лиана Арифметова
Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».
Отказ от ответственности
Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.
Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.
Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.
Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.