Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Геометрическую прогрессию со знаменателем |q| < 1 называют бесконечно убывающей: её члены по модулю становятся всё меньше и приближаются к нулю. Сумма первых n членов Sₙ = b₁(1 − qⁿ) : (1 − q) при росте n приближается к числу S = b₁ : (1 − q), потому что qⁿ стремится к нулю. Это число и называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пример: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 : (1 − 1/2) = 2. Каждый новый член закрывает половину оставшегося до 2 расстояния, поэтому сумма подходит к 2 сколь угодно близко, но никогда его не превышает.
Этой формулой переводят периодические дроби в обыкновенные: 0,(3) = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … — прогрессия с b₁ = 3/10 и q = 1/10, её сумма (3/10) : (9/10) = 1/3. Если |q| ≥ 1, сумма бесконечна, и решатель об этом предупредит.
Формулы
- S = b₁ : (1 − q) — только при |q| < 1.
- b₁ = S · (1 − q) — первый член по сумме.
- q = 1 − b₁ : S — знаменатель по сумме и первому члену.
- При |q| ≥ 1 и b₁ ≠ 0 сумма бесконечна.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии конечна: 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2.— Правило
Задачи с решением
Задача 1
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 24; 12; 6; …
Решение:
- 1) S = b₁ : (1 − q) = 24 : (1 − 0,5) = 48 — сумма бесконечно убывающей прогрессии.
Ответ: S = 48.
Задача 2
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 48, знаменатель 1/2. Найдите первый член.
Решение:
- 1) b₁ = S · (1 − q) = 48 · (1 − 0,5) = 24 — первый член.
Ответ: b₁ = 24.
Задача 3
Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии 9, сумма 12. Найдите знаменатель.
Решение:
- 1) q = 1 − b₁ : S = 1 − 9 : 12 = 0,25 — знаменатель.
Ответ: q = 0,25.
Задача 4
Запишите периодическую дробь 0,(3) в виде обыкновенной: сложите 0,3 + 0,03 + 0,003 + …
Решение:
- 1) S = b₁ : (1 − q) = 0,3 : (1 − 0,1) = 1/3 — сумма бесконечно убывающей прогрессии.
Ответ: S = 1/3.
Задачи для тренировки
Восемь задач с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» решателя выше.
- Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 1; −2; 4; … Найдите её 5-й член.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 3, q = 3. Найдите сумму первых 4 её членов.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 5, q = −2. Найдите сумму первых 5 её членов.
- В геометрической прогрессии b₂ = 4, b₄ = 16, знаменатель положительный. Найдите b₆.
- В геометрической прогрессии b₃ = −4, b₅ = −16, знаменатель отрицательный. Найдите b₈.
- Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 1; 4; 16; … Найдите её 7-й член.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 2, q = 2. Найдите сумму первых 8 её членов.
- Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 90; −45; 22,5; …
Ответы
- 16
- 120
- 55
- 64
- 128
- 4096
- 510
- 60
Частые ошибки
Забывают условие |q| < 1. Для q = 2 формула дала бы отрицательную «сумму», но на деле сумма бесконечна.
Путают с Sₙ. S = b₁ : (1 − q) — сумма всех членов, а сумма первых n считается по другой формуле.
Ошибаются со знаком. При q = −1/2: 1 − q = 1 + 1/2 = 3/2, а не 1/2.
- Алгебра. 9 класс — арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы n-го члена и суммы первых n членов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Школьный учебник.
- Алгебра. 9 класс — числовые последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии. А. Г. Мордкович. Школьный учебник.
