Знаменатель геометрической прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии — отношение любого члена к предыдущему: q = bₙ₊₁ : bₙ. В прогрессии 2; 6; 18 знаменатель 3, в прогрессии 24; 12; 6 — 1/2, в 1; −2; 4 — минус 2. Знаменатель не может быть равен нулю, и члены прогрессии тоже нулевыми не бывают.
Если известны два несоседних члена, между ними k − m шагов, и на каждом шаге число умножается на q. Поэтому qᵏ⁻ᵐ = bₖ : bₘ, а q — корень степени k − m из этого отношения. При b₂ = 6 и b₄ = 54 получаем q² = 9, и подходят оба знаменателя: 3 и −3. Это две разные прогрессии: 2; 6; 18; 54 и −2; 6; −18; 54.
Если отношение отрицательное, а степень чётная, такой прогрессии не существует — чётная степень не бывает отрицательной. А если корень не извлекается нацело, знаменатель иррациональный: решатель покажет его приближённое значение.
Формулы
- q = b₂ : b₁ — по соседним членам.
- qⁿ⁻¹ = bₙ : b₁ — по первому и n-му.
- qᵏ⁻ᵐ = bₖ : bₘ — по любым двум членам.
- Чётная степень — два знаменателя ±q; отрицательное отношение при чётной степени — прогрессии нет.
При чётном числе шагов между членами знаменателей два — q и −q.— Правило
Задачи с решением
Задача 1
В геометрической прогрессии b₂ = 6, b₄ = 54. Найдите знаменатель и b₆.
Решение:
- 1) q² = b₄ : b₂ = 54 : 6 = 9 — между членами 2 шага.
- 2) q = 3 или q = −3 — q² = 9, степень чётная — подходят оба знака.
- 3) b₁ = b₂ : q = 6 : 3 = 2 — первый член (при q = 3).
- 4) b₆ = b₁ · q⁵ = 2 · 3⁵ = 486 — 6-й член (при q = 3).
- 5) S₆ = b₁ · (q⁶ − 1) : (q − 1) = 2 · (3⁶ − 1) : (3 − 1) = 728 — сумма первых 6 членов (при q = 3).
- 6) b₁ = b₂ : q = 6 : (−3) = −2 — первый член (при q = −3).
- 7) b₆ = b₁ · q⁵ = −2 · (−3)⁵ = 486 — 6-й член (при q = −3).
- 8) S₆ = b₁ · (q⁶ − 1) : (q − 1) = −2 · ((−3)⁶ − 1) : (−3 − 1) = 364 — сумма первых 6 членов (при q = −3).
Ответ: q = 3, b₁ = 2; b₆ = 486, S₆ = 728 (при q = 3); q = −3, b₁ = −2; b₆ = 486, S₆ = 364 (при q = −3).
Задача 2
В геометрической прогрессии b₁ = 2, b₄ = −54. Найдите знаменатель.
Решение:
- 1) q³ = b₄ : b₁ = −54 : 2 = −27 — между членами 3 шага.
- 2) q = −3 — корень 3-й степени из −27.
Ответ: q = −3, b₁ = 2.
Задача 3
Выписаны первые члены геометрической прогрессии: 24; 12; 6; … Найдите знаменатель и 6-й член.
Решение:
- 1) q = b₂ : b₁ = 12 : 24 = 0,5 — знаменатель прогрессии.
- 2) b₆ = b₁ · q⁵ = 24 · 0,5⁵ = 0,75 — 6-й член.
- 3) S₆ = b₁ · (q⁶ − 1) : (q − 1) = 24 · (0,5⁶ − 1) : (0,5 − 1) = 47,25 — сумма первых 6 членов.
- 4) S = b₁ : (1 − q) = 24 : (1 − 0,5) = 48 — |q| < 1 — сумма всех членов бесконечной прогрессии.
Ответ: b₆ = 0,75; S₆ = 47,25; S = 48.
Задачи для тренировки
Восемь задач с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» решателя выше.
- Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 1; −2; 4; … Найдите её 5-й член.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 3, q = 3. Найдите сумму первых 4 её членов.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 5, q = −2. Найдите сумму первых 5 её членов.
- В геометрической прогрессии b₂ = 4, b₄ = 16, знаменатель положительный. Найдите b₆.
- В геометрической прогрессии b₃ = −4, b₅ = −16, знаменатель отрицательный. Найдите b₈.
- Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 1; 4; 16; … Найдите её 7-й член.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 2, q = 2. Найдите сумму первых 8 её членов.
- Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 90; −45; 22,5; …
Ответы
- 16
- 120
- 55
- 64
- 128
- 4096
- 510
- 60
Частые ошибки
Теряют второй ответ. Из q² = 9 следует q = 3 или q = −3 — обе прогрессии подходят, если в условии нет ограничений.
Делят в обратном порядке. q = b₂ : b₁, а не b₁ : b₂: для 2; 6 знаменатель 3, а не 1/3.
Путают с разностью. В геометрической прогрессии члены умножают на q, а не прибавляют к ним.
- Алгебра. 9 класс — арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы n-го члена и суммы первых n членов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Школьный учебник.
