Что такое геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число q. Это число называют знаменателем прогрессии. Примеры: 2; 6; 18; 54 — знаменатель 3; 24; 12; 6; 3 — знаменатель 1/2; 1; −2; 4; −8 — знаменатель −2. Члены обозначают b₁, b₂, …, bₙ.
По геометрической прогрессии растут величины, которые каждый раз умножаются на одно и то же число: удвоение числа клеток при делении, сложные проценты по вкладу, уменьшение яркости света при прохождении через одинаковые фильтры. В школе её проходят в 9 классе вместе с арифметической.
Формулы
| n-й член | bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ |
| Через любой член | bₙ = bₘ · qⁿ⁻ᵐ |
| Знаменатель | q = bₙ₊₁ : bₙ, qᵏ⁻ᵐ = bₖ : bₘ |
| Сумма первых n | Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) : (q − 1), q ≠ 1 |
| Сумма при q = 1 | Sₙ = n · b₁ |
| Бесконечно убывающая | S = b₁ : (1 − q), |q| < 1 |
| Свойство | bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ |
Подробно — на страницах «Сумма геометрической прогрессии» и «Знаменатель геометрической прогрессии».
Свойства
Квадрат каждого члена, кроме первого, равен произведению соседних: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁. Для прогрессии с положительными членами это значит, что каждый член — среднее геометрическое соседей, отсюда и название. Если q > 1 и члены положительны, прогрессия быстро растёт; если 0 < q < 1 — убывает; если q < 0 — знаки членов чередуются.
Геометрическая прогрессия растёт гораздо быстрее арифметической. По легенде об изобретателе шахмат, если класть на каждую следующую клетку доски вдвое больше зёрен, всего понадобится 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 зёрен — решатель выводит это число всеми цифрами.
От первого члена до n-го — n − 1 умножений на знаменатель.— Правило
Бесконечно убывающая прогрессия
Если |q| < 1, члены по модулю уменьшаются и стремятся к нулю, а суммы первых n членов приближаются к числу S = b₁ : (1 − q). Его называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2, 24 + 12 + 6 + … = 48. Так же переводят периодические дроби в обыкновенные — подробности на странице «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия».
Примеры с решением
Задача 1
Выписаны первые члены геометрической прогрессии: 2; 6; 18; … Найдите сумму первых 5 её членов.
Решение:
- 1) q = b₂ : b₁ = 6 : 2 = 3 — знаменатель прогрессии.
- 2) b₅ = b₁ · q⁴ = 2 · 3⁴ = 162 — 5-й член.
- 3) S₅ = b₁ · (q⁵ − 1) : (q − 1) = 2 · (3⁵ − 1) : (3 − 1) = 242 — сумма первых 5 членов.
Ответ: b₅ = 162; S₅ = 242.
Задача 2
В геометрической прогрессии b₂ = 6, b₄ = 54. Найдите знаменатель и b₆.
Решение:
- 1) q² = b₄ : b₂ = 54 : 6 = 9 — между членами 2 шага.
- 2) q = 3 или q = −3 — q² = 9, степень чётная — подходят оба знака.
- 3) b₁ = b₂ : q = 6 : 3 = 2 — первый член (при q = 3).
- 4) b₆ = b₁ · q⁵ = 2 · 3⁵ = 486 — 6-й член (при q = 3).
- 5) S₆ = b₁ · (q⁶ − 1) : (q − 1) = 2 · (3⁶ − 1) : (3 − 1) = 728 — сумма первых 6 членов (при q = 3).
- 6) b₁ = b₂ : q = 6 : (−3) = −2 — первый член (при q = −3).
- 7) b₆ = b₁ · q⁵ = −2 · (−3)⁵ = 486 — 6-й член (при q = −3).
- 8) S₆ = b₁ · (q⁶ − 1) : (q − 1) = −2 · ((−3)⁶ − 1) : (−3 − 1) = 364 — сумма первых 6 членов (при q = −3).
Ответ: q = 3, b₁ = 2; b₆ = 486, S₆ = 728 (при q = 3); q = −3, b₁ = −2; b₆ = 486, S₆ = 364 (при q = −3).
Задача 3
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 24; 12; 6; …
Решение:
- 1) S = b₁ : (1 − q) = 24 : (1 − 0,5) = 48 — сумма бесконечно убывающей прогрессии.
Ответ: S = 48.
Задачи для тренировки
Задачи в духе ОГЭ с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» решателя выше.
- Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 1; −2; 4; … Найдите её 5-й член.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 3, q = 3. Найдите сумму первых 4 её членов.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 5, q = −2. Найдите сумму первых 5 её членов.
- В геометрической прогрессии b₂ = 4, b₄ = 16, знаменатель положительный. Найдите b₆.
- В геометрической прогрессии b₃ = −4, b₅ = −16, знаменатель отрицательный. Найдите b₈.
- Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 1; 4; 16; … Найдите её 7-й член.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 2, q = 2. Найдите сумму первых 8 её членов.
- Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 90; −45; 22,5; …
Ответы
- 16
- 120
- 55
- 64
- 128
- 4096
- 510
- 60
- Алгебра. 9 класс — арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы n-го члена и суммы первых n членов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Школьный учебник.
- Алгебра. 9 класс — числовые последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии. А. Г. Мордкович. Школьный учебник.
