Формула n-го члена арифметической прогрессии
Чтобы дойти от первого члена до n-го, нужно сделать n − 1 шагов, и каждый шаг прибавляет разность d. Поэтому aₙ = a₁ + (n − 1)d. Например, в прогрессии 3; 7; 11; … разность 4, и пятидесятый член равен 3 + 49 · 4 = 199.
Та же формула работает в обратную сторону. Номер члена, равного данному числу: n = (aₙ − a₁) : d + 1. Если n получается дробным или отрицательным, такого члена в прогрессии нет — так проверяют, «является ли число членом прогрессии».
Часто вместо первого члена известны два каких-то члена, например a₃ = 11 и a₇ = 27. Между ними 7 − 3 = 4 шага, значит, d = (27 − 11) : 4 = 4, а a₁ = 11 − 2 · 4 = 3. Этот случай решает режим «По двум членам».
Формулы
- aₙ = a₁ + (n − 1)d — n-й член через первый.
- aₙ = aₘ + (n − m)d — через любой известный член.
- n = (aₙ − a₁) : d + 1 — номер члена; должен быть натуральным.
- aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) : 2 — каждый член равен среднему арифметическому соседей.
До n-го члена — n − 1 шагов по d.— Правило
Задачи с решением
Задача 1
Выписаны первые члены арифметической прогрессии: 3; 7; 11; … Найдите её 50-й член.
Решение:
- 1) a₅₀ = a₁ + (50 − 1) · d = 3 + 49 · 4 = 199 — 50-й член.
- 2) S₅₀ = (a₁ + a₅₀) · 50 : 2 = (3 + 199) · 50 : 2 = 5050 — сумма первых 50 членов.
Ответ: a₅₀ = 199; S₅₀ = 5050.
Задача 2
Является ли число 199 членом прогрессии 3; 7; 11; …? Если да, найдите его номер.
Решение:
- 1) n = (aₙ − a₁) : d + 1 = (199 − 3) : 4 + 1 = 50 — номер члена.
- 2) S₅₀ = (a₁ + aₙ) · n : 2 = (3 + 199) · 50 : 2 = 5050 — сумма.
Ответ: n = 50; S₅₀ = 5050.
Задача 3
В арифметической прогрессии a₃ = 11, a₇ = 27. Найдите a₁₅.
Решение:
- 1) d = (a₇ − a₃) : (7 − 3) = (27 − 11) : 4 = 4 — разность: между членами k − m шагов.
- 2) a₁ = a₃ − (3 − 1) · d = 11 − 2 · 4 = 3 — первый член.
- 3) a₁₅ = a₁ + (15 − 1) · d = 3 + 14 · 4 = 59 — 15-й член.
- 4) S₁₅ = (a₁ + a₁₅) · 15 : 2 = (3 + 59) · 15 : 2 = 465 — сумма первых 15 членов.
Ответ: d = 4; a₁ = 3; a₁₅ = 59; S₁₅ = 465.
Задача 4
В арифметической прогрессии d = −3, a₁₀ = 5. Найдите a₁.
Решение:
- 1) a₁ = aₙ − (n − 1) · d = 5 − 9 · (−3) = 32 — первый член.
- 2) S₁₀ = (a₁ + a₁₀) · 10 : 2 = 185 — сумма.
Ответ: a₁ = 32; S₁₀ = 185.
Задачи для тренировки
Восемь задач с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» решателя выше.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −7; −1; 5; … Найдите её 33-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −12; −3; 6; … Найдите её 31-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 20; 29; 38; … Найдите её 50-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −13; −9; −5; … Найдите её 25-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −12; −15; −18; … Найдите её 21-й член.
- В арифметической прогрессии a₄ = 33, a₉ = 53. Найдите a₁₉.
- В арифметической прогрессии a₄ = 31, a₈ = 43. Найдите a₁₉.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −14; −12; −10; … Найдите сумму первых 29 её членов.
Ответы
- 185
- 258
- 461
- 83
- −72
- 93
- 76
- 406
Частые ошибки
Умножают на n. Шагов от a₁ до aₙ не n, а n − 1: a₁₀ = a₁ + 9d, а не a₁ + 10d.
Теряют знак разности. В убывающей прогрессии d отрицательна: для 10; 7; 4 разность −3.
Не проверяют номер. Номер члена — натуральное число. Дробный n означает, что такого члена нет.
- Алгебра. 9 класс — арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы n-го члена и суммы первых n членов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Школьный учебник.
- Алгебра. 9 класс — числовые последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии. А. Г. Мордкович. Школьный учебник.
