Разность арифметической прогрессии
Разность арифметической прогрессии — это d = aₙ₊₁ − aₙ: из любого члена вычитаем предыдущий. В прогрессии 3; 7; 11; … разность 4, в прогрессии 10; 7; 4; … — минус 3. Если d > 0, прогрессия возрастает, если d < 0 — убывает, при d = 0 все члены одинаковы.
Когда члены не соседние, считают, сколько между ними шагов. От a₃ до a₇ четыре шага, поэтому d = (a₇ − a₃) : 4. В общем виде d = (aₖ − aₘ) : (k − m), а если известен первый член — d = (aₙ − a₁) : (n − 1).
Разность не обязана быть целой: прогрессия 1,5; 2; 2,5 имеет d = 0,5, а 1; 4/3; 5/3 — d = 1/3. Решатель считает точными дробями и показывает разность в том виде, в каком её удобнее записать.
Формулы
- d = a₂ − a₁ — по соседним членам.
- d = (aₙ − a₁) : (n − 1) — по первому и n-му.
- d = (aₖ − aₘ) : (k − m) — по любым двум членам.
- d > 0 — прогрессия возрастает, d < 0 — убывает, d = 0 — постоянная.
Разность между двумя членами делят на число шагов между ними, а не на номер.— Правило
Задачи с решением
Задача 1
В арифметической прогрессии a₃ = 11, a₇ = 27. Найдите разность и первый член.
Решение:
- 1) d = (a₇ − a₃) : (7 − 3) = (27 − 11) : 4 = 4 — разность: между членами k − m шагов.
- 2) a₁ = a₃ − (3 − 1) · d = 11 − 2 · 4 = 3 — первый член.
Ответ: d = 4; a₁ = 3.
Задача 2
Первый член арифметической прогрессии 5, десятый — 32. Найдите разность.
Решение:
- 1) d = (aₙ − a₁) : (n − 1) = (32 − 5) : 9 = 3 — разность.
- 2) S₁₀ = (a₁ + a₁₀) · 10 : 2 = 185 — сумма.
Ответ: d = 3; S₁₀ = 185.
Задача 3
В арифметической прогрессии a₂ = 7, a₁₂ = −23. Найдите разность и a₂₀.
Решение:
- 1) d = (a₁₂ − a₂) : (12 − 2) = (−23 − 7) : 10 = −3 — разность: между членами k − m шагов.
- 2) a₁ = a₂ − (2 − 1) · d = 7 − 1 · (−3) = 10 — первый член.
- 3) a₂₀ = a₁ + (20 − 1) · d = 10 + 19 · (−3) = −47 — 20-й член.
- 4) S₂₀ = (a₁ + a₂₀) · 20 : 2 = (10 + (−47)) · 20 : 2 = −370 — сумма первых 20 членов.
Ответ: d = −3; a₁ = 10; a₂₀ = −47; S₂₀ = −370.
Задачи для тренировки
Восемь задач с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» решателя выше.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −7; −1; 5; … Найдите её 33-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −12; −3; 6; … Найдите её 31-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 20; 29; 38; … Найдите её 50-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −13; −9; −5; … Найдите её 25-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −12; −15; −18; … Найдите её 21-й член.
- В арифметической прогрессии a₄ = 33, a₉ = 53. Найдите a₁₉.
- В арифметической прогрессии a₄ = 31, a₈ = 43. Найдите a₁₉.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −14; −12; −10; … Найдите сумму первых 29 её членов.
Ответы
- 185
- 258
- 461
- 83
- −72
- 93
- 76
- 406
Частые ошибки
Делят на номер. Между a₃ и a₇ не 7 и не 3, а 4 шага: d = (a₇ − a₃) : 4.
Вычитают в обратном порядке. d = следующий − предыдущий. Для 10; 7 разность −3, а не 3.
Округляют. Разность может быть дробной — например, 1/3. Округление даст неверные члены дальше.
- Алгебра. 9 класс — арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы n-го члена и суммы первых n членов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Школьный учебник.
