Что такое арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d. Это число называют разностью прогрессии. Примеры: 3; 7; 11; 15 — разность 4; 10; 7; 4; 1 — разность −3; 5; 5; 5 — разность 0. Члены обозначают a₁, a₂, a₃, …, aₙ, где маленькая цифра — номер члена.
Прогрессии встречаются всюду, где величина меняется равными шагами: номера домов на одной стороне улицы, ряды кресел в зале, где в каждом следующем на два места больше, ежемесячные взносы, растущие на одну и ту же сумму. В школе арифметическую прогрессию проходят в 9 классе, и задачи на неё регулярно встречаются в ОГЭ.
Формулы
| n-й член | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| Через любой член | aₙ = aₘ + (n − m)d |
| Разность | d = aₙ₊₁ − aₙ = (aₖ − aₘ) : (k − m) |
| Номер члена | n = (aₙ − a₁) : d + 1 |
| Сумма первых n | Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2 |
| Сумма через d | Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n : 2 |
| Свойство | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) : 2 |
Подробно — на страницах «Формула n-го члена», «Сумма арифметической прогрессии» и «Разность арифметической прогрессии».
Свойства
Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого, равен среднему арифметическому соседних: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) : 2. Отсюда и название — «арифметическая». Верно и обратное: если в последовательности каждый средний член равен полусумме соседей, это арифметическая прогрессия.
Суммы членов, равноудалённых от концов, одинаковы: a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂. На этом свойстве держится формула суммы — так, по известной истории, маленький Гаусс мгновенно сложил числа от 1 до 100: пятьдесят пар по 101 дают 5050. При d > 0 прогрессия возрастает, при d < 0 убывает, при d = 0 все её члены равны.
Чтобы дойти от первого члена до n-го, нужно n − 1 раз прибавить разность.— Правило
Как решать задачи
- Выпишите, что известно: первые члены, a₁ и d, два члена с номерами или сумму.
- Найдите разность: по соседним членам d = a₂ − a₁, по двум членам — d = (aₖ − aₘ) : (k − m).
- Найдите нужный член по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Для суммы подставьте a₁ и aₙ в Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2.
- Проверьте, что номер n натуральный, а ответ согласуется с условием.
Если неизвестен номер, а дана сумма, формула суммы превращается в квадратное уравнение — его корни ищут, как в решателе уравнений, и оставляют натуральные.
Примеры с решением
Задача 1
Выписаны первые члены арифметической прогрессии: 3; 7; 11; … Найдите сумму первых 50 её членов.
Решение:
- 1) d = a₂ − a₁ = 7 − 3 = 4 — разность прогрессии.
- 2) a₅₀ = a₁ + (50 − 1) · d = 3 + 49 · 4 = 199 — 50-й член.
- 3) S₅₀ = (a₁ + a₅₀) · 50 : 2 = (3 + 199) · 50 : 2 = 5050 — сумма первых 50 членов.
Ответ: a₅₀ = 199; S₅₀ = 5050.
Задача 2
В арифметической прогрессии a₃ = 11, a₇ = 27. Найдите a₁₅.
Решение:
- 1) d = (a₇ − a₃) : (7 − 3) = (27 − 11) : 4 = 4 — разность: между членами k − m шагов.
- 2) a₁ = a₃ − (3 − 1) · d = 11 − 2 · 4 = 3 — первый член.
- 3) a₁₅ = a₁ + (15 − 1) · d = 3 + 14 · 4 = 59 — 15-й член.
- 4) S₁₅ = (a₁ + a₁₅) · 15 : 2 = (3 + 59) · 15 : 2 = 465 — сумма первых 15 членов.
Ответ: d = 4; a₁ = 3; a₁₅ = 59; S₁₅ = 465.
Задача 3
В арифметической прогрессии a₁ = 10, d = −2. Сколько первых членов нужно сложить, чтобы получить 24?
Решение:
- 1) Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n : 2 → −2 · n² + 22 · n − 48 = 0 — уравнение для n.
- 2) D = 22² − 4 · (−2) · (−48) = 100 — дискриминант уравнения для n.
- 3) n = (−22 ± 10) : (−4) → 8 или 3 — корни уравнения.
- 4) a₃ = a₁ + (3 − 1) · d = 6 — 3-й член.
- 5) a₈ = a₁ + (8 − 1) · d = −4 — 8-й член.
Ответ: n = 3, a₃ = 6; n = 8, a₈ = −4.
Задачи для тренировки
Задачи в духе ОГЭ с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» решателя выше.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −7; −1; 5; … Найдите её 33-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −12; −3; 6; … Найдите её 31-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 20; 29; 38; … Найдите её 50-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −13; −9; −5; … Найдите её 25-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −12; −15; −18; … Найдите её 21-й член.
- В арифметической прогрессии a₄ = 33, a₉ = 53. Найдите a₁₉.
- В арифметической прогрессии a₄ = 31, a₈ = 43. Найдите a₁₉.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −14; −12; −10; … Найдите сумму первых 29 её членов.
Ответы
- 185
- 258
- 461
- 83
- −72
- 93
- 76
- 406
- Алгебра. 9 класс — арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы n-го члена и суммы первых n членов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Школьный учебник.
- Алгебра. 9 класс — числовые последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии. А. Г. Мордкович. Школьный учебник.
