Сумма геометрической прогрессии
Формулу суммы получают так: умножим сумму Sₙ = b₁ + b₁q + … + b₁qⁿ⁻¹ на q и вычтем исходную. Почти все члены сократятся, останется qSₙ − Sₙ = b₁qⁿ − b₁, откуда Sₙ = b₁(qⁿ − 1) : (q − 1). При q = 1 все члены равны b₁, и сумма просто n · b₁.
Суммы геометрических прогрессий растут очень быстро. По старой легенде, изобретатель шахмат попросил за первую клетку доски одно зерно, за вторую — два, за третью — четыре и так далее, удваивая. Всего это b₁ = 1, q = 2, n = 64, и сумма равна 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 зёрен.
При отрицательном знаменателе члены чередуют знак, и сумма колеблется: для 1; −2; 4; … первые шесть членов дают −21. Формула та же — главное аккуратно возвести отрицательное q в степень.
Формулы
- Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) : (q − 1) при q ≠ 1.
- Sₙ = n · b₁ при q = 1.
- Другая запись: Sₙ = (bₙ · q − b₁) : (q − 1).
- Если |q| < 1, при росте n сумма приближается к b₁ : (1 − q).
Умножьте сумму на q и вычтите исходную — почти все члены сократятся.— Правило
Задачи с решением
Задача 1
Выписаны первые члены геометрической прогрессии: 2; 6; 18; … Найдите сумму первых 5 её членов.
Решение:
- 1) q = b₂ : b₁ = 6 : 2 = 3 — знаменатель прогрессии.
- 2) b₅ = b₁ · q⁴ = 2 · 3⁴ = 162 — 5-й член.
- 3) S₅ = b₁ · (q⁵ − 1) : (q − 1) = 2 · (3⁵ − 1) : (3 − 1) = 242 — сумма первых 5 членов.
Ответ: b₅ = 162; S₅ = 242.
Задача 2
Сколько всего зёрен на шахматной доске, если на первой клетке одно зерно, а на каждой следующей вдвое больше?
Решение:
- 1) b₆₄ = b₁ · q⁶³ = 1 · 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808 — 64-й член.
- 2) S₆₄ = b₁ · (q⁶⁴ − 1) : (q − 1) = 1 · (2⁶⁴ − 1) : (2 − 1) = 18 446 744 073 709 551 615 — сумма первых 64 членов.
Ответ: b₆₄ = 9 223 372 036 854 775 808; S₆₄ = 18 446 744 073 709 551 615.
Задача 3
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии 1; −2; 4; …
Решение:
- 1) q = b₂ : b₁ = −2 : 1 = −2 — знаменатель прогрессии.
- 2) b₆ = b₁ · q⁵ = 1 · (−2)⁵ = −32 — 6-й член.
- 3) S₆ = b₁ · (q⁶ − 1) : (q − 1) = 1 · ((−2)⁶ − 1) : (−2 − 1) = −21 — сумма первых 6 членов.
Ответ: b₆ = −32; S₆ = −21.
Задача 4
Сумма первых членов геометрической прогрессии с b₁ = 2 и q = 3 равна 242. Сколько членов сложено?
Решение:
- 1) qⁿ = 1 + Sₙ · (q − 1) : b₁ = 1 + 242 · (3 − 1) : 2 = 243 — из формулы суммы.
- 2) 3⁵ = 243 → n = 5 — число членов.
- 3) b₅ = b₁ · q⁴ = 162 — 5-й член.
Ответ: n = 5; b₅ = 162.
Задачи для тренировки
Восемь задач с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» решателя выше.
- Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 1; −2; 4; … Найдите её 5-й член.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 3, q = 3. Найдите сумму первых 4 её членов.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 5, q = −2. Найдите сумму первых 5 её членов.
- В геометрической прогрессии b₂ = 4, b₄ = 16, знаменатель положительный. Найдите b₆.
- В геометрической прогрессии b₃ = −4, b₅ = −16, знаменатель отрицательный. Найдите b₈.
- Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 1; 4; 16; … Найдите её 7-й член.
- Геометрическая прогрессия задана условиями b₁ = 2, q = 2. Найдите сумму первых 8 её членов.
- Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 90; −45; 22,5; …
Ответы
- 16
- 120
- 55
- 64
- 128
- 4096
- 510
- 60
Частые ошибки
Путают степень. В формуле суммы — qⁿ, а в формуле n-го члена — qⁿ⁻¹.
Теряют знак. (−2)⁶ = 64, а (−2)⁵ = −32: знак зависит от чётности степени.
Делят на ноль. При q = 1 формула не работает — сумма равна n · b₁.
- Алгебра. 9 класс — арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы n-го члена и суммы первых n членов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Школьный учебник.
- Алгебра. 9 класс — числовые последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии. А. Г. Мордкович. Школьный учебник.
