Сумма арифметической прогрессии
Сумму первых n членов арифметической прогрессии считают по формуле Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2. Идея видна на сумме 1 + 2 + … + 100: сложим первое число с последним, второе с предпоследним и так далее — каждая пара даёт 101, пар 50, и сумма равна 5050. Так же устроена любая арифметическая прогрессия: пары членов, равноудалённых от концов, дают одну и ту же сумму a₁ + aₙ.
Если n-й член неизвестен, его подставляют через a₁ и d: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Получается вторая формула: Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n : 2. Ею удобно пользоваться, когда известны первый член, разность и число членов.
Бывает и обратная задача: известна сумма, а нужно найти, сколько членов сложено. Тогда формула превращается в квадратное уравнение относительно n. Решатель в режиме «Найти неизвестное» решает его и оставляет только натуральные корни — иногда их два, если в прогрессии есть отрицательные члены.
Формулы
- Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2 — если известны первый и n-й члены.
- Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n : 2 — если известны первый член и разность.
- Сумма членов с m-го по k-й: Sₖ − Sₘ₋₁.
- Число членов n по сумме — из квадратного уравнения dn² + (2a₁ − d)n − 2Sₙ = 0.
Пары членов, равноудалённых от концов, дают одну и ту же сумму — отсюда и формула суммы.— Правило
Задачи с решением
Задача 1
Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Решение:
- 1) d = a₂ − a₁ = 2 − 1 = 1 — разность прогрессии.
- 2) a₁₀₀ = a₁ + (100 − 1) · d = 1 + 99 · 1 = 100 — 100-й член.
- 3) S₁₀₀ = (a₁ + a₁₀₀) · 100 : 2 = (1 + 100) · 100 : 2 = 5050 — сумма первых 100 членов.
Ответ: a₁₀₀ = 100; S₁₀₀ = 5050.
Задача 2
Выписаны первые члены арифметической прогрессии: 3; 7; 11; … Найдите сумму первых 50 её членов.
Решение:
- 1) d = a₂ − a₁ = 7 − 3 = 4 — разность прогрессии.
- 2) a₅₀ = a₁ + (50 − 1) · d = 3 + 49 · 4 = 199 — 50-й член.
- 3) S₅₀ = (a₁ + a₅₀) · 50 : 2 = (3 + 199) · 50 : 2 = 5050 — сумма первых 50 членов.
Ответ: a₅₀ = 199; S₅₀ = 5050.
Задача 3
Найдите сумму всех двузначных чисел.
Решение:
- 1) a₉₀ = a₁ + (90 − 1) · d = 10 + 89 · 1 = 99 — 90-й член.
- 2) S₉₀ = (a₁ + a₉₀) · 90 : 2 = (10 + 99) · 90 : 2 = 4905 — сумма первых 90 членов.
Ответ: a₉₀ = 99; S₉₀ = 4905.
Задача 4
В арифметической прогрессии a₁ = 10, d = −2. Сколько первых членов нужно сложить, чтобы получить 24?
Решение:
- 1) Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n : 2 → −2 · n² + 22 · n − 48 = 0 — уравнение для n.
- 2) D = 22² − 4 · (−2) · (−48) = 100 — дискриминант уравнения для n.
- 3) n = (−22 ± 10) : (−4) → 8 или 3 — корни уравнения.
- 4) a₃ = a₁ + (3 − 1) · d = 6 — 3-й член.
- 5) a₈ = a₁ + (8 − 1) · d = −4 — 8-й член.
Ответ: n = 3, a₃ = 6; n = 8, a₈ = −4.
Задачи для тренировки
Восемь задач с ответами под кнопкой. Новый вариант и печать — в режиме «Задачи для печати» решателя выше.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −7; −1; 5; … Найдите её 33-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −12; −3; 6; … Найдите её 31-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 20; 29; 38; … Найдите её 50-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −13; −9; −5; … Найдите её 25-й член.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −12; −15; −18; … Найдите её 21-й член.
- В арифметической прогрессии a₄ = 33, a₉ = 53. Найдите a₁₉.
- В арифметической прогрессии a₄ = 31, a₈ = 43. Найдите a₁₉.
- Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −14; −12; −10; … Найдите сумму первых 29 её членов.
Ответы
- 185
- 258
- 461
- 83
- −72
- 93
- 76
- 406
Частые ошибки
Путают n и aₙ. В формулу Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2 подставляют и значение n-го члена, и количество членов n — это разные числа.
Забывают разделить на 2. Полусумма первого и последнего членов умножается на n: без деления на 2 ответ получится вдвое больше.
Считают n неверно. От 10 до 99 не 89, а 90 чисел: n = (последнее − первое) : d + 1.
- Алгебра. 9 класс — арифметическая и геометрическая прогрессии: формулы n-го члена и суммы первых n членов. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Школьный учебник.
- Алгебра. 9 класс — числовые последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии. А. Г. Мордкович. Школьный учебник.
