Что такое уравнение и его корень
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой. Корень уравнения — такое значение буквы, при котором получается верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что их нет. У уравнения x + 15 = 32 корень один — 17, потому что 17 + 15 = 32.
Уравнения, которые решают со 2 по 6 класс, в большинстве своём линейные: неизвестное в них не возводится в степень и не умножается само на себя. Такое уравнение имеет либо один корень, либо ни одного, либо бесконечно много, и решатель на этой странице различает все три случая.
Компоненты действий и шесть правил
Числа в каждом действии называются по-своему: при сложении — слагаемые и сумма, при вычитании — уменьшаемое, вычитаемое и разность, при умножении — множители и произведение, при делении — делимое, делитель и частное. Если неизвестен один компонент, его находят обратным действием — это и есть правила решения простых уравнений.
| Неизвестно | Уравнение | Компоненты | Решение |
|---|---|---|---|
| слагаемое | x + 25 = 60 | слагаемое + слагаемое = сумма | x = 60 − 25 |
| уменьшаемое | x − 18 = 27 | уменьшаемое − вычитаемое = разность | x = 27 + 18 |
| вычитаемое | 72 − x = 45 | уменьшаемое − вычитаемое = разность | x = 72 − 45 |
| множитель | x · 7 = 56 | множитель · множитель = произведение | x = 56 : 7 |
| делимое | x : 6 = 14 | делимое : делитель = частное | x = 14 · 6 |
| делитель | 72 : x = 8 | делимое : делитель = частное | x = 72 : 8 |
Легко запомнить так: неизвестна часть — вычитаем или делим, неизвестно целое — складываем или умножаем. Сумма, уменьшаемое, произведение и делимое — «целое», остальные компоненты — его части. Правила подробно, с примерами и тренажёром, разобраны на отдельных страницах — ссылки в таблице.
Каждое равенство на сложение даёт два равенства на вычитание: из 35 + 25 = 60 следует 60 − 25 = 35 и 60 − 35 = 25. Так же связаны умножение и деление: из 8 · 7 = 56 следует 56 : 7 = 8 и 56 : 8 = 7. На этих связях держатся все шесть правил.— Связь компонентов и результата
Составные уравнения: от внешнего действия к внутреннему
В составном уравнении неизвестный компонент — не сам x, а выражение с x. Сначала находят последнее действие в части с x: в (x + 15) · 3 = 90 это умножение, значит, x + 15 — неизвестный множитель. Правило даёт более простое уравнение x + 15 = 30, и так шаг за шагом, пока не останется x. Если в другой части стоит числовое выражение, его значение вычисляют в самом начале.
(x + 15) · 3 = 90
- (x + 15) · 3 = 90
- Неизвестный множитель — (x + 15). Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.x + 15 = 90 : 3
- x + 15 = 30
- Неизвестное слагаемое — x. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.x = 30 − 15
- x = 15
Ответ: x = 15.
Перенос слагаемых
Когда x встречается в обеих частях, например 5x − 7 = 2x + 8, правила для компонентов не подходят. Здесь пользуются свойствами уравнений: слагаемое можно перенести из одной части в другую, изменив его знак, а обе части можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. План такой: раскрыть скобки, собрать слагаемые с x слева, числа — справа, привести подобные и разделить на коэффициент при x.
при a ≠ 0 корень один; при a = 0 и b = 0 корень — любое число; при a = 0 и b ≠ 0 корней нет
5x − 7 = 2x + 8
- 5x − 7 = 2x + 8
- Перенесём слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки на противоположные.5x − 2x = 8 + 7
- Приведём подобные слагаемые и вычислим правую часть.3x = 15
- Разделим обе части уравнения на 3 — коэффициент при x.x = 15 : 3
- x = 5
Ответ: x = 5.
Если в уравнении есть дроби, обе части сначала умножают на общий знаменатель: x/3 + x/6 = 5 превращается в 2x + x = 30. Решатель делает это сам, а десятичные дроби оставляет как есть — с ними удобно считать и без умножения.
Когда корней нет или их бесконечно много
Если после переноса и приведения подобных x исчезает, получается равенство 0 · x = b. При b ≠ 0 оно не выполняется ни при каком x — корней нет, как у уравнения 2(x + 1) = 2x + 3. При b = 0 оно верно при любом x — корней бесконечно много, как у 2(x + 1) = 2x + 2. Ещё один особый случай — x в делителе: корень, при котором делитель равен нулю, не подходит, потому что на ноль делить нельзя.
Уравнения по классам
- 2 класс — простые уравнения на сложение и вычитание в пределах 100: неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое.
- 3 класс — уравнения на умножение и деление: неизвестный множитель, делимое, делитель.
- 4 класс — многозначные числа, выражение в правой части и сложные (составные) уравнения.
- 5 класс — запись 3x, составные уравнения и приведение подобных слагаемых.
- 6 класс — отрицательные числа, раскрытие скобок, перенос слагаемых, дроби.
На каждой странице — правила для этого класса, разобранные примеры, готовый лист из 10 уравнений с ответами и тренажёр, настроенный на нужный уровень.
- Математика. 2–4 классы — уравнения, связь между компонентами и результатом сложения, вычитания, умножения и деления. М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и другие. Школьный учебник.
- Математика. 5 класс — уравнение, корень уравнения, упрощение выражений. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Математика. 6 класс — решение уравнений, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
