Математика и ТАУ

Преобразование Лапласа

Таблица преобразований, калькулятор F(s), анализ передаточных функций. Полюса, нули, устойчивость, диаграмма Боде, переходные и импульсные характеристики.

📋Таблица преобразований Лапласа

#	f(t)	F(s) = L{f(t)}	ROC	Примечание
1	1	1/s	Re(s) > 0	Единичная функция Хевисайда u(t)
2	t	1/s²	Re(s) > 0	Линейная функция
3	tⁿ	n!/sⁿ⁺¹	Re(s) > 0	Степенная функция, n = 0, 1, 2, ...
4	t²	2/s³	Re(s) > 0	Квадратичная функция
5	eᵃᵗ	1/(s-a)	Re(s) > a	Экспоненциальная функция
6	t·eᵃᵗ	1/(s-a)²	Re(s) > a	Произведение t на экспоненту
7	tⁿ·eᵃᵗ	n!/(s-a)ⁿ⁺¹	Re(s) > a	Обобщенная экспоненциальная функция
8	sin(ωt)	ω/(s²+ω²)	Re(s) > 0	Синусоидальная функция
9	cos(ωt)	s/(s²+ω²)	Re(s) > 0	Косинусоидальная функция
10	eᵃᵗ·sin(ωt)	ω/((s-a)²+ω²)	Re(s) > a	Затухающий синус
11	eᵃᵗ·cos(ωt)	(s-a)/((s-a)²+ω²)	Re(s) > a	Затухающий косинус
12	t·sin(ωt)	2ωs/(s²+ω²)²	Re(s) > 0	Модулированный синус
13	t·cos(ωt)	(s²-ω²)/(s²+ω²)²	Re(s) > 0	Модулированный косинус
14	sinh(at)	a/(s²-a²)	Re(s) > \|a\|	Гиперболический синус
15	cosh(at)	s/(s²-a²)	Re(s) > \|a\|	Гиперболический косинус
16	δ(t)	1	Все s	Дельта-функция Дирака (импульс)
17	u(t)	1/s	Re(s) > 0	Функция Хевисайда (единичный скачок)
18	u(t-a)	e⁻ᵃˢ/s	Re(s) > 0	Сдвинутая ступенчатая функция
19	δ(t-a)	e⁻ᵃˢ	Все s	Сдвинутая дельта-функция
20	e⁻ᵃᵗ·f(t)	F(s+a)	Сдвиг ROC на a	Теорема сдвига по частоте (затухание)
21	t·u(t)	1/s²	Re(s) > 0	Линейная рампа (наклонная функция)
22	t²·u(t)	2/s³	Re(s) > 0	Квадратичная рампа
23	t³·u(t)	6/s⁴	Re(s) > 0	Кубическая рампа
24	e⁻ᵃᵗsin(ω₀√(1-ζ²)t)	ω₀√(1-ζ²)/((s+a)²+ω₀²(1-ζ²))	Re(s) > -a	Недодемпфированные колебания 2-го порядка
25	1 - e⁻ᵃᵗ(cosωt + (a/ω)sinωt)	ω₀²/(s(s²+2as+ω₀²))	Re(s) > 0	Переходная характеристика 2-го порядка
26	f'(t)	s·F(s) - f(0)	—	Дифференцирование оригинала
27	f"(t)	s²F(s) - sf(0) - f'(0)	—	Вторая производная
28	∫f(t)dt	F(s)/s	—	Интегрирование оригинала
29	f(t-a)·u(t-a)	e⁻ᵃˢ·F(s)	—	Теорема запаздывания (сдвиг по времени)
30	f₁*f₂ (свёртка)	F₁(s)·F₂(s)	—	Теорема свёртки

Показано 30 из 30 пар преобразований. Все функции определены при t ≥ 0.

1780-е

Работы Лапласа

Пьер-Симон Лаплас заложил основы интегрального преобразования

∫

L{f(t)} = ∫e⁻ˢᵗf(t)dt

Фундаментальная формула прямого преобразования

100%

Систем управления

Все системы ТАУ анализируются через преобразование Лапласа

s = σ+jω

Комплексная плоскость

Переменная Лапласа — комплексная частота

Что такое преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа переводит функцию из временной области f(t) в комплексно-частотную область F(s), где s = σ + jω. Это позволяет заменить дифференциальные уравнения алгебраическими, что радикально упрощает анализ линейных систем. Метод является основой теории автоматического управления (ТАУ), анализа электрических цепей и обработки сигналов.

∫

Интегральное преобразование

Прямое преобразование определяется интегралом L{f(t)} = ∫₀^∞ f(t)e^-stdt, где s — комплексная переменная. Обратное преобразование восстанавливает f(t) из F(s) через интеграл Бромвича по контуру в комплексной плоскости. На практике для обращения используют таблицы и метод разложения на простые дроби.

↔

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Фурье — это частный случай преобразования Лапласа при s = jω (чисто мнимая переменная). Лаплас работает с более широким классом функций, включая растущие экспоненты, и добавляет информацию о затухании (σ). Если система устойчива, её частотная характеристика совпадает с F(jω).

Область применения

Преобразование Лапласа незаменимо в теории автоматического управления (ТАУ), анализе электрических и электронных цепей, механике, теории колебаний, обработке сигналов. Оно позволяет анализировать устойчивость систем, проектировать регуляторы (ПИД), рассчитывать переходные процессы и частотные характеристики.

Математический аппарат/ формулы и свойства

Ключевые формулы, свойства и теоремы преобразования Лапласа, необходимые для анализа систем и решения задач ТАУ.

Прямое преобразование Лапласа

Переводит функцию времени f(t) в функцию комплексной переменной F(s).

F(s) = L{f(t)} = ∫₀^∞ f(t) · e^-st dt, s = σ + jω

Интеграл сходится при Re(s) > σ₀ (абсцисса сходимости). Область сходимости (ROC) определяет допустимые значения s.

Обратное преобразование (интеграл Бромвича)

Восстанавливает f(t) из F(s) по контуру в комплексной плоскости.

f(t) = L^-1{F(s)} = (1/2πj) ∫_c-j∞^c+j∞ F(s) · e^st ds

На практике используют таблицу пар + разложение на простые дроби. Прямое вычисление интеграла Бромвича требуется редко.

Основные свойства

Линейность

L{af + bg} = aF(s) + bG(s)

Дифференцирование

L{f'(t)} = sF(s) - f(0)

Интегрирование

L{∫f(t)dt} = F(s)/s

Сдвиг по времени

L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)·F(s)

Сдвиг по частоте

L{e^(at)f(t)} = F(s-a)

Свёртка

L{f*g} = F(s)·G(s)

Начальное значение

f(0+) = lim(s→∞) sF(s)

Конечное значение

f(∞) = lim(s→0) sF(s)

Ключевые пары преобразований

f(t), t ≥ 0	F(s)	ROC
δ(t)	1	Все s
u(t) = 1	1/s	Re(s) > 0
t	1/s²	Re(s) > 0
t^n	n!/s^(n+1)	Re(s) > 0
e^(at)	1/(s-a)	Re(s) > Re(a)
sin(ωt)	ω/(s²+ω²)	Re(s) > 0
cos(ωt)	s/(s²+ω²)	Re(s) > 0
e^(at)·sin(ωt)	ω/((s-a)²+ω²)	Re(s) > a
e^(at)·cos(ωt)	(s-a)/((s-a)²+ω²)	Re(s) > a

Совет: для обратного преобразования рациональной F(s) разложите её на простые дроби вида A/(s-p), затем каждая дробь соответствует экспоненте Ae^pt.

Важно: теорема конечного значения lim f(t) = lim sF(s) работает только если система устойчива (все полюса sF(s) в левой полуплоскости).

Передаточная функция H(s)

Передаточная функция — это отношение изображений выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях: H(s) = Y(s)/X(s). Она полностью характеризует линейную стационарную систему (ЛСС) и является центральным понятием теории автоматического управления.

⁄

Структура H(s)

N(s)/D(s)

H(s) = N(s)/D(s), где N(s) и D(s) — полиномы по s. Нули числителя — нули системы, корни знаменателя — полюса. Степень знаменателя определяет порядок системы. Для физически реализуемой системы порядок числителя не превышает порядок знаменателя.

⊕

Обратная связь

Замкнутая система

Для системы с единичной отрицательной обратной связью передаточная функция замкнутой системы: W(s) = H(s)/(1 + H(s)). Полюса замкнутой системы — корни характеристического уравнения 1 + H(s) = 0. Именно их расположение определяет устойчивость.

Звено 1-го порядка

W(s) = K/(Ts + 1)

Апериодическое звено: один полюс p = -1/T. Постоянная времени T определяет скорость переходного процесса (63% от установившегося значения за время T). K — коэффициент передачи. Примеры: RC-цепь, термопара, резервуар с жидкостью.

Звено 2-го порядка

W(s) = ω_n²/(s² + 2ζω_ns + ω_n²)

Колебательное звено с параметрами: ω_n — собственная частота, ζ — коэффициент демпфирования. При ζ < 1 — колебательный переходный процесс, ζ = 1 — критическое демпфирование, ζ > 1 — два вещественных полюса. Примеры: пружинно-демпферная система, RLC-контур.

Практические советы

Рекомендации по эффективному использованию преобразования Лапласа в инженерных задачах.

1Метод простых дробей

Для обратного преобразования разложите F(s) на простые дроби: A/(s-p₁) + B/(s-p₂) + ... Каждая дробь соответствует табличной паре. Для комплексных полюсов группируйте сопряжённые пары и приводите к виду с синусом/косинусом. Для кратных полюсов используйте дроби вида A/(s-p)^k.

2s-область vs временная область

Используйте s-область для анализа устойчивости, нахождения передаточной функции и проектирования регуляторов. Временную область — для проверки переходных процессов и моделирования. Частотная область (s = jω) — для построения ЛАЧХ/ЛФЧХ и анализа запаса устойчивости.

3Идентификация системы

По экспериментальной переходной характеристике можно определить параметры системы: постоянные времени (по касательной), перерегулирование (пик отклика), время переходного процесса, частоту колебаний. Эти данные позволяют подобрать модельную передаточную функцию.

4Настройка ПИД-регулятора

ПИД-регулятор в s-области: C(s) = K_p + K_i/s + K_ds. Пропорциональная часть задаёт быстродействие, интегральная устраняет статическую ошибку (добавляет полюс в начале координат), дифференциальная демпфирует колебания. Метод размещения полюсов позволяет рассчитать коэффициенты аналитически.

5Численное обратное преобразование

Для сложных F(s), не раскладываемых на простые дроби, используют алгоритм Тальбота или Стехфеста. В MATLAB: ilaplace(F) для символьного, impulse(sys) для численного. В Python: scipy.signal.impulse() или sympy.inverse_laplace_transform().

6MATLAB и Python

MATLAB: tf([num], [den]), bode(sys), step(sys), pole(sys), zero(sys), rlocus(sys). Python (scipy.signal): lti([num], [den]), bode(), step(), impulse(). SymPy: laplace_transform(), inverse_laplace_transform() для аналитических расчётов. Наш калькулятор выполняет те же базовые операции прямо в браузере.

Как пользоваться калькулятором

Три режима работы для полного анализа систем в s-области.

Найдите пару в таблице

На вкладке «Таблица» найдите нужную функцию f(t) с помощью поиска или фильтра по категориям. Кликните на строку для подробного описания и копирования пары.

Вычислите F(s)

На вкладке «Калькулятор» выберите тип функции, задайте параметры (a, ω, n). Получите F(s), полюса, нули и график f(t) во временной области.

Анализируйте H(s)

На вкладке «Передаточная функция» введите коэффициенты числителя и знаменателя. Получите полюса, нули, диаграмму Боде, переходную и импульсную характеристики.

Оцените устойчивость

Проверьте расположение полюсов на s-плоскости. Все полюса в левой полуплоскости — система устойчива. Для 2-го порядка оцените ζ и ωn для качества переходного процесса.

Часто задаваемые вопросы

Представьте, что вы решаете сложное дифференциальное уравнение с производными. Преобразование Лапласа — это волшебная замена переменных, которая превращает уравнение с производными в обычное алгебраическое уравнение. Вы решаете простую алгебру в «s-мире», а потом возвращаете ответ обратно во временную область. Это как перевести задачу на другой «язык», где она решается проще, а потом перевести ответ обратно.

Преобразование Фурье — частный случай Лапласа при s = jω (чисто мнимая переменная). Лаплас добавляет «реальную» часть σ к комплексной частоте s = σ + jω. Благодаря этому Лаплас работает с более широким классом функций (например, растущими экспонентами), а расположение полюсов на s-плоскости напрямую говорит об устойчивости системы. Фурье подходит для анализа спектра сигналов, Лаплас — для анализа и проектирования систем управления.

ROC (Region of Convergence) — это множество значений s, при которых интеграл L{f(t)} = ∫e^(-st)f(t)dt конечен (сходится). Например, для f(t) = e^(2t) интеграл сходится только при Re(s) > 2. ROC важна, потому что одна и та же F(s) может соответствовать разным f(t) в зависимости от ROC (каузальная или антикаузальная функция). Для физических систем всегда выбирают правостороннюю (каузальную) интерпретацию.

Полюса — это значения s, при которых H(s) → ∞ (корни знаменателя). Нули — значения s, при которых H(s) = 0 (корни числителя). Полюса определяют характер переходного процесса: вещественный полюс — экспонента, комплексная пара — затухающие колебания. Нули влияют на форму переходной характеристики (перерегулирование, скорость нарастания). Карта полюсов-нулей на s-плоскости — главный инструмент анализа системы.

Линейная система устойчива (по BIBO), если все полюса её передаточной функции лежат в левой полуплоскости: Re(p_i) < 0 для всех i. Если хотя бы один полюс в правой полуплоскости (Re > 0), система неустойчива — выходной сигнал растёт без ограничений. Полюса на мнимой оси (Re = 0) — граница устойчивости. Критерии: Раус-Гурвиц (алгебраический), Найквист (частотный), Михайлов (по годографу).

Передаточная функция H(s) = Y(s)/X(s) полностью описывает поведение линейной стационарной системы при нулевых начальных условиях. Зная H(s), можно: вычислить выход для любого входа (Y = H·X), определить устойчивость (по полюсам), найти частотную характеристику (подставить s = jω), спроектировать регулятор, оценить качество переходного процесса. Это основной «паспорт» системы в теории управления.

Алгоритм: 1) Применить преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, используя свойство L{f'} = sF - f(0) для производных. 2) Подставить начальные условия. 3) Решить получившееся алгебраическое уравнение относительно Y(s). 4) Разложить Y(s) на простые дроби. 5) По таблице найти обратное преобразование для каждой дроби. Результат — решение y(t). Метод автоматически учитывает начальные условия.

z-преобразование — дискретный аналог преобразования Лапласа. Связь: z = e^(sT), где T — период дискретизации. При проектировании цифровых фильтров и систем управления часто сначала проектируют аналоговый прототип в s-области, а затем переходят к z-области с помощью билинейного преобразования (метод Тастина): s = (2/T)(z-1)/(z+1). Полюса внутри единичного круга (|z| < 1) соответствуют устойчивой дискретной системе.

Теорема начального значения: f(0+) = lim(s→∞) sF(s). Позволяет найти значение f(t) при t=0 без обратного преобразования. Теорема конечного значения: f(∞) = lim(s→0) sF(s). Даёт установившееся значение, но только если система устойчива (все полюса sF(s) в левой полуплоскости). Если условие не выполнено, теорема конечного значения даёт неверный результат.

Основные методы: 1) Таблица пар — ищите F(s) в таблице стандартных пар (наш калькулятор содержит 30 пар). 2) Разложение на простые дроби — для рациональных F(s) = P(s)/Q(s) разложите на A/(s-p) и находите каждую часть по таблице. 3) Свойства (сдвиг, дифференцирование, масштабирование). 4) Контурное интегрирование (для теоретических задач). 5) Численные методы (алгоритм Тальбота) для сложных случаев.

Диаграмма Боде (ЛАЧХ и ЛФЧХ) — графики амплитуды |H(jω)| (в дБ) и фазы arg(H(jω)) (в градусах) от частоты (логарифмический масштаб). Запас по амплитуде (gain margin) — на сколько дБ можно усилить сигнал при частоте фазового кроссовера (φ = -180°). Запас по фазе (phase margin) — сколько градусов до -180° на частоте единичного усиления (0 дБ). Оба запаса должны быть положительными для устойчивости.

Преобразование Лапласа работает только для линейных систем с постоянными коэффициентами (ЛСС). Не применимо к нелинейным системам (сатурация, люфт, гистерезис) и системам с переменными параметрами. Для таких систем используют методы пространства состояний, линеаризацию вблизи рабочей точки или численное моделирование. Также не подходит для распределённых систем (волновое уравнение), хотя существуют обобщения.

Создатель

Лиана Арифметова

Миссия: Демократизировать сложные расчеты. Превратить страх перед числами в ясность и контроль. Девиз: «Любая повторяющаяся задача заслуживает своего калькулятора».

⚖️

Отказ от ответственности

Только для информационных целей. Все расчёты, результаты и данные, предоставляемые данным инструментом, носят исключительно ознакомительный и справочный характер. Они не являются профессиональной консультацией — медицинской, юридической, финансовой, инженерной или иной.

Точность результатов. Калькулятор основан на общепринятых формулах и методиках, однако фактические результаты могут отличаться в зависимости от индивидуальных условий, исходных данных и применяемых стандартов. Мы не гарантируем полноту, точность или актуальность приведённых расчётов.

Медицинские, финансовые и профессиональные решения должны приниматься исключительно на основании консультации с квалифицированными специалистами — врачом, финансовым советником, инженером или другим профессионалом в соответствующей области. Не используйте результаты данного инструмента как единственное основание для принятия важных решений.

Ограничение ответственности. Авторы и разработчики сервиса не несут никакой ответственности за прямой или косвенный ущерб, возникший в результате использования данных расчётов. Пользователь принимает на себя всю ответственность за интерпретацию и применение полученных результатов.

Преобразование Лапласа

📋Таблица преобразований Лапласа

Что такое преобразование Лапласа

Интегральное преобразование

Связь с преобразованием Фурье

Область применения

Математический аппарат/ формулы и свойства

Прямое преобразование Лапласа

Обратное преобразование (интеграл Бромвича)

Основные свойства

Ключевые пары преобразований

Передаточная функция H(s)

Структура H(s)

Обратная связь

Звено 1-го порядка

Звено 2-го порядка

Практические советы

1Метод простых дробей

2s-область vs временная область

3Идентификация системы

4Настройка ПИД-регулятора

5Численное обратное преобразование

6MATLAB и Python

Как пользоваться калькулятором

Найдите пару в таблице

Вычислите F(s)

Анализируйте H(s)

Оцените устойчивость

Часто задаваемые вопросы

Лиана Арифметова

Отказ от ответственности

Похожие инструменты

Калькулятор теплообмена: теплопроводность, конвекция, излучение

Калькулятор BI Dashboard: производительность, лицензии, KPI, adoption

Калькулятор робототехники

Калькулятор BMR (базальный метаболизм)

Калькулятор стоимости эвакуатора

Калькулятор общественного здравоохранения: DALY, QALY, NNT и вакцинация

Калькулятор имитации бруса

Калькулятор грядок

Калькулятор военной ипотеки

Калькулятор кондитера: пересчет рецептов

Калькулятор утилизационного сбора

Калькулятор сумм рядов

Калькулятор газового счётчика

Калькулятор дробей (смешанные и неправильные)

Калькулятор триатлона: время гонки, питание, зоны, план

📋Таблица преобразований Лапласа