Виды логарифмов
ЛЛогарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число: если bʸ = x, то y = log_b(x). Три логарифма имеют собственные обозначения: натуральный (ln), десятичный (lg), двоичный (log₂). Остальные записываются через основание.
Логарифмом числа x по основанию b называется такой показатель y, что b в степени y даёт x. Коротко: log_b(x) = y ⇔ bʸ = x.— определение логарифма
Свойства и формулы
Четыре базовых свойства — фундамент любых преобразований с логарифмами:
Переход к новому основанию
Программные функции (JavaScript, Python, C) обычно предоставляют только ln и log₁₀. Любой другой логарифм сводится формулой перехода:
log_b(x) = lg(x) / lg(b)
= 4.828 / 1.609 = 3
Применение логарифмов
1) Химия — pH — водородный показатель: pH = −lg[H⁺]. 2) Акустика — децибел — шкала громкости: L = 10·lg(I/I₀). 3) Информатика — сложность алгоритмов — бинарный поиск работает за O(log₂n). 4) Финансы — сложный процент — время удвоения: t = ln(2)/ln(1+r). 5) Сейсмология — шкала Рихтера — логарифмическая шкала магнитуд. 6) Статистика — логарифмическая регрессия — линеаризация степенных зависимостей.
Примеры вычислений
lg(1000) = 3 (10³ = 1000). ln(e) = 1 (e¹ = e). log₂(1024) = 10 (2¹⁰ = 1024). lg(0.01) = −2 (10⁻² = 0.01). log₃(81) = 4 (3⁴ = 81). ln(1) = 0 (e⁰ = 1). Для произвольных чисел используйте калькулятор — результат вычисляется по формуле перехода.
