Что такое метод Монте-Карло
Метод Монте-Карло — численный метод, основанный на использовании случайных выборок для решения задач, которые сложно или невозможно решить аналитически. Изобретён Станиславом Уламом, Джоном фон Нейманом и Николасом Метрополисом в 1940-х в Лос-Аламосе для расчётов ядерных реакций. Назван в честь казино в Монако — отсылка к рулетке как символу случайности.
Идея пришла в 1946 году, когда я лежал больной и от скуки раскладывал пасьянс «Кэнфилд», задавая вопрос: какова вероятность выиграть? После долгих попыток вычислить я подумал — а почему бы не сыграть много раз и посчитать результаты?— Stanisław Ulam, изобретатель метода
Классический пример: оценка π
Рассмотрим квадрат со стороной 2 (от −1 до +1) и вписанный в него круг радиусом 1. Площадь квадрата — 4, площадь круга — π. Если бросить точки случайно равномерно, доля попавших в круг ≈ π/4. Отсюда: π ≈ 4 × (точки в круге) / (всего точек).
N = 10 000 → ошибка ≈ 0.01
N = 1 000 000 → ошибка ≈ 0.001
NPV-симуляция: риск-менеджмент
Главное практическое применение Монте-Карло в бизнесе — анализ инвестиционных проектов. Стандартный NPV считается для одного набора параметров — но реальные CapEx, OpEx и выручка известны с погрешностями. Монте-Карло прогоняет тысячи сценариев и даёт распределение возможных NPV.
- Среднее (ожидаемое NPV) — базовая оценка прибыльности.
- P5 — пессимистичный сценарий, ниже которого попадают только 5% случаев.
- P95 — оптимистичный сценарий.
- Доля NPV < 0 — вероятность убыточности проекта.
Если среднее NPV положительное, но P5 — глубоко в минусе, проект в среднем прибыльный, но рискованный. Нужно либо снижать неопределённость (точнее оценивать выручку), либо хеджировать риски (фиксированные контракты на материалы), либо отказаться.
Сходимость и точность
Главный закон Монте-Карло — центральная предельная теорема: ошибка оценки убывает как σ/√N, где σ — стандартное отклонение случайной величины, N — число итераций. Чтобы поднять точность в 10 раз, нужно увеличить N в 100 раз.
Альтернативы для ускорения:
- Quasi-Monte Carlo (Sobol, Halton) — лучшее равномерное заполнение пространства, сходимость до 1/N.
- Latin Hypercube Sampling — стратифицированная выборка, лучше для NPV-симуляции с малым числом параметров.
- Importance sampling — фокус на «важных» областях параметров.
Наш калькулятор использует обычный Монте-Карло — простой, понятный, достаточный для большинства задач.
- Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Glasserman P.. Springer. 2003.
- The Monte Carlo Method. Metropolis N., Ulam S.. Journal of the American Statistical Association. 1949.
- Options, Futures, and Other Derivatives, 11th ed.. Hull J.C.. Pearson. 2021.
- Mulberry32 PRNG specification. Ettinger T.. github.com/v8/v8. 2017.
