Признак делимости на 3
Чтобы проверить, делится ли число на 3, сложите все его цифры. Если сумма делится на 3, делится и само число; если нет — не делится. У числа 7431 сумма цифр 7 + 4 + 3 + 1 = 15, а 15 делится на 3, значит, и 7431 делится на 3: 7431 = 3 · 2477.
Если сумма цифр получилась большой, признак можно применить к ней ещё раз: 987 654 → 39 → 12 → 3. Порядок цифр не важен: 7431, 1347 и 4713 делятся на 3 одновременно, потому что состоят из одних и тех же цифр.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.— Признак делимости на 3
Почему признак работает
Всё держится на том, что 10 при делении на 3 даёт остаток 1: 10 = 9 + 1. Так же 100 = 99 + 1 и 1000 = 999 + 1, а числа 9, 99, 999 делятся на 3.
Разложим число по разрядам: 7431 = 7 · 1000 + 4 · 100 + 3 · 10 + 1 = (7 · 999 + 4 · 99 + 3 · 9) + (7 + 4 + 3 + 1). Сумма в первых скобках делится на 3, поэтому число и сумма его цифр дают при делении на 3 один и тот же остаток.
10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1 — каждая цифра оставляет в остатке саму себя
Примеры с решением
7431 делится на 3
Сумма цифр: 7 + 4 + 3 + 1 = 15. 15 делится на 3.
Проверка делением: 7431 = 3 · 2477.
7432 не делится на 3
Сумма цифр: 7 + 4 + 3 + 2 = 16. 16 не делится на 3.
Проверка делением: 7432 = 3 · 2477 + 1 — остаток 1.
987 654 делится на 3
Сумма цифр: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39. 39 делится на 3.
Проверка делением: 987 654 = 3 · 329 218.
1 000 001 не делится на 3
Сумма цифр: 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 2. 2 не делится на 3.
Проверка делением: 1 000 001 = 3 · 333 333 + 2 — остаток 2.
Как найти остаток от деления на 3
Признак даёт больше, чем ответ «делится или нет»: остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3. У 7432 сумма цифр 16, 16 = 3 · 5 + 1, значит, 7432 = 3 · 2477 + 1.
Складывать можно не все цифры: цифры 0, 3, 6 и 9 и группы цифр с суммой, кратной 3, остатка не меняют. В 7432 можно вычеркнуть 3 и пару 4 + 2 — останется 7, а 7 при делении на 3 даёт остаток 1.
Числа до 100, кратные 3
От 1 до 100 на 3 делятся 33 числа: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …, 96, 99. На сотне ниже они подсвечены. Первые двадцать из них, до 3 · 20 = 60, есть в таблице умножения на 3.
Частые ошибки
Сумма цифр вместо частного. Сумма цифр — это проверка, а не результат деления. 7431 : 3 = 2477, а вовсе не 15 : 3 = 5.
Признак на 3 — не признак на 9. Если сумма цифр делится на 3, число делится на 3, но не обязательно на 9: у 12 сумма цифр 3, а на 9 оно не делится. Обратное верно: всё, что делится на 9, делится и на 3.
Смотрят на последнюю цифру. Для 3 последняя цифра ничего не говорит: 13 не делится на 3, а 33 и 63 делятся. Нужны все цифры.
- Математика. 6 класс — делители и кратные, признаки делимости на 10, 5, 2, 9 и 3. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Справочник по элементарной математике — признаки делимости. М. Я. Выгодский. Справочник.
