Признак делимости на 7
У семёрки нет такого простого признака, как у 2, 3 или 5, но проверка всё равно быстрее деления. Отделите последнюю цифру, удвойте её и вычтите из числа, которое осталось. Повторяйте, пока не получится небольшое число, про которое ответ очевиден. 8638: 863 − 2 · 8 = 847; 84 − 2 · 7 = 70; 70 = 7 · 10, значит, 8638 делится на 7.
Для длинных чисел удобнее второй способ — через тройки цифр. Разбейте число справа налево на группы по три цифры и сложите их, чередуя знаки плюс и минус и начиная с последней тройки. Если результат делится на 7, делится и число. Этот же приём проверяет делимость на 11 и на 13, потому что 1001 = 7 · 11 · 13.
Отбросьте последнюю цифру и вычтите её удвоенное значение из оставшегося числа. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится результат.— Признак делимости на 7
Почему признак работает
Почему работает удвоение? Запишем число как 10a + b, где b — последняя цифра. Умножим его на 5 — от этого делимость на 7 не меняется, ведь 5 и 7 взаимно просты: 5 · (10a + b) = 50a + 5b = 49a + 7b + (a − 2b). Слагаемые 49a и 7b делятся на 7, поэтому 10a + b делится на 7 тогда и только тогда, когда делится a − 2b.
Признак троек держится на числе 1001: 1000 = 1001 − 1, то есть тысяча при делении на 7 даёт «остаток −1». Поэтому тысячи входят в остаток со знаком минус, миллионы (1000 · 1000) — со знаком плюс и так далее по очереди.
5 · (10a + b) = 49a + 7b + (a − 2b): первые два слагаемых делятся на 7
Примеры с решением
8638 делится на 7
8638: 863 − 2 · 8 = 847; 847: 84 − 2 · 7 = 70. 70 = 7 · 10 — делится на 7.
Проверка делением: 8638 = 7 · 1234.
119 делится на 7
119: 11 − 2 · 9 = −7. −7 = 7 · (−1) — делится на 7.
Проверка делением: 119 = 7 · 17.
1 234 567 не делится на 7
1 234 567: 123 456 − 2 · 7 = 123 442; 123 442: 12 344 − 2 · 2 = 12 340; 12 340: 1234 − 2 · 0 = 1234; 1234: 123 − 2 · 4 = 115; 115: 11 − 2 · 5 = 1. 1 не делится на 7.
Проверка делением: 1 234 567 = 7 · 176 366 + 5 — остаток 5.
864 197 523 делится на 7
Разбиваем на тройки справа: 864 | 197 | 523. Знакопеременная сумма, начиная с последней тройки: 523 − 197 + 864 = 1190 = 7 · 170 — делится на 7.
Проверка делением: 864 197 523 = 7 · 123 456 789.
Как найти остаток от деления на 7
Признак удвоения сохраняет только делимость, а не остаток: у 8639 остаток от деления на 7 равен 1, а у 863 − 2 · 9 = 845 — уже 5. Остаток даёт признак троек: 8 | 639 → 639 − 8 = 631 = 7 · 90 + 1, поэтому 8639 = 7 · 1234 + 1.
Если знакопеременная сумма троек получилась отрицательной, прибавляйте к ней 7, пока не получится число от 0 до 6, — это и будет остаток.
Числа до 100, кратные 7
От 1 до 100 на 7 делятся 14 чисел: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. На сотне ниже они подсвечены. Все они есть в таблице умножения на 7.
Частые ошибки
Прибавляют вместо вычитания. Для 7 удвоенную цифру вычитают. Если прибавить, получится признак для 19: 2 · (10a + b) = 19a + (a + 2b).
Считают остаток по удвоению. Признак удвоения сохраняет делимость, но не остаток. Если число не делится на 7, остаток ищите тройками цифр или делением.
Ищут признак по сумме цифр. Для 7 он не существует: у 16 и 25 сумма цифр 7, но ни одно из этих чисел на 7 не делится.
- Признаки делимости. Н. Н. Воробьёв. Серия «Популярные лекции по математике», Москва, Наука.
- Справочник по элементарной математике — признаки делимости. М. Я. Выгодский. Справочник.
