Признаки делимости

Что такое признак делимости

Признак делимости — это правило, по которому можно узнать, делится ли число на другое, не выполняя деления. Обычно признак смотрит на последние цифры числа или на сумму его цифр: на 2 и на 5 — последняя цифра, на 4 и на 25 — две последние, на 8 — три, на 3 и на 9 — сумма всех цифр, на 11 — знакопеременная сумма. Признаки экономят время в устном счёте, помогают сокращать дроби, раскладывать числа на простые множители и проверять вычисления.

Калькулятор выше проверяет число длиной до 60 цифр сразу по 14 признакам и для каждого показывает само вычисление: какие цифры взяты, какая сумма получилась и что из этого следует. Остаток он считает прямым делением, поэтому признак и деление всегда согласованы. Если нужен разбор одного признака — с доказательством, примерами и типичными ошибками, — откройте его страницу: на 2, на 3, на 9, на 7, на 11 и другие.

Таблица признаков делимости

Все признаки, которые проверяет калькулятор, с разобранным примером. Числа в примерах делятся нацело — это видно по последнему шагу.

Почему признаки работают

Все признаки делимости вытекают из десятичной записи числа. Число 7431 — это 7 · 1000 + 4 · 100 + 3 · 10 + 1, и признак появляется, когда степени десяти 10, 100, 1000 удобно ведут себя по отношению к делителю.

• Признаки по последним цифрам. 10 = 2 · 5, поэтому всё, кроме последней цифры, делится на 2, на 5 и на 10. 100 = 4 · 25 — всё, кроме двух последних цифр, делится на 4, на 25 и на 100. 1000 = 8 · 125 — всё, кроме трёх последних, делится на 8 и на 125.
• Признаки по сумме цифр. 10, 100, 1000 при делении на 9 и на 3 дают остаток 1 (10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1), поэтому число и сумма его цифр имеют один остаток. Подробно — в разборах признаков на 3 и на 9.
• Знакопеременные признаки. 10 при делении на 11 даёт остаток −1, а 100 — остаток 1, поэтому цифры входят в сумму со знаками плюс и минус по очереди. 1000 при делении на 1001 даёт остаток −1 — так появляется признак троек цифр для 7, 11 и 13.
• Признаки «отбрось последнюю цифру». 10a + b делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится a − 2b; на 13 — когда на 13 делится a + 4b. Такие правила получают, умножая число на подходящий множитель: 5 · (10a + b) = 49a + 7b + (a − 2b).

Составные делители

Для составного делителя признак собирают из признаков его множителей, но только если множители взаимно просты — не имеют общих делителей, кроме 1: 6 = 2 · 3, 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 9, 36 = 4 · 9, 45 = 5 · 9, 72 = 8 · 9. Например, 7332 делится на 12: сумма цифр 15 делится на 3, окончание 32 делится на 4, и действительно 7332 = 12 · 611.

С общими множителями так нельзя: 12 делится и на 4, и на 6, но не делится на 24. Правильная пара для 24 — 3 и 8, для 36 — 4 и 9, а не 3 и 12: число 12 делится и на 3, и на 12, но не на 36. Подробнее о делимости на произведение — в разборе признака делимости на 6.

Если число делится на каждое из взаимно простых чисел, оно делится и на их произведение.— Правило для составных делителей

Как узнать остаток по признаку

Признаки по последним цифрам и по сумме цифр дают не только ответ «да или нет», но и остаток. У 7318 остаток от деления на 4 такой же, как у окончания 18, — 2. Остаток от деления 4889 на 9 такой же, как у суммы цифр 29, — 2. Для 11 остаток даёт знакопеременная сумма цифр, если места считать справа. А вот признак удвоения для 7 остаток не сохраняет: он годится только для ответа, делится ли число.

На признаке делимости на 9 держится и старинная проверка умножения: цифровые корни множителей перемножают и сравнивают с цифровым корнем ответа. 123 · 456 = 56 088: 6 · 6 = 36 → 9, у 56 088 сумма цифр 27 → 9 — совпало. Как это работает и чего такая проверка не замечает — на странице признака делимости на 9. Остатки по любому модулю считает калькулятор модульной арифметики, а деление с остатком по шагам показывает деление с остатком столбиком.