Признак делимости на 6
Отдельного признака у 6 нет — он собран из двух: 6 = 2 · 3. Число делится на 6, если оно чётное и сумма его цифр делится на 3. 4518: последняя цифра 8 — чётная, сумма цифр 4 + 5 + 1 + 8 = 18 делится на 3. Значит, 4518 делится на 6: 4518 = 6 · 753.
Нужны оба условия сразу. 4515 делится на 3 (сумма цифр 15), но нечётное — на 6 не делится. 4516 чётное, но сумма его цифр 16 на 3 не делится — тоже не делится.
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3: последняя цифра чётная, а сумма цифр делится на 3.— Признак делимости на 6
Почему признак работает
Почему достаточно двух проверок? Числа 2 и 3 взаимно простые: у них нет общих делителей, кроме 1. Если число делится на 2 и на 3, в его разложении на простые множители есть и 2, и 3, а значит, есть и их произведение 6.
Для множителей с общим делителем так рассуждать нельзя: 12 делится на 4 и на 6, но не делится на 24. Поэтому составной признак собирают только из взаимно простых множителей: 6 = 2 · 3, 12 = 3 · 4, 18 = 2 · 9.
2 и 3 взаимно просты — число делится на 6, если делится на каждое из них
Примеры с решением
4518 делится на 6
На 2: да (последняя цифра 8); на 3: да (сумма цифр 18).
Проверка делением: 4518 = 6 · 753.
4515 не делится на 6
На 2: нет (последняя цифра 5); на 3: да (сумма цифр 15).
Проверка делением: 4515 = 6 · 752 + 3 — остаток 3.
4516 не делится на 6
На 2: да (последняя цифра 6); на 3: нет (сумма цифр 16).
Проверка делением: 4516 = 6 · 752 + 4 — остаток 4.
123 456 делится на 6
На 2: да (последняя цифра 6); на 3: да (сумма цифр 21).
Проверка делением: 123 456 = 6 · 20 576.
Как найти остаток от деления на 6
Остаток от деления на 6 по признаку сразу не виден, но его можно собрать: чётность даёт остаток от деления на 2, сумма цифр — остаток от деления на 3, а вместе они однозначно задают остаток от 0 до 5.
Пример: 4516 чётное, а сумма цифр 16 при делении на 3 даёт остаток 1. Из чисел 0–5 чётное и с остатком 1 при делении на 3 только 4, поэтому 4516 = 6 · 752 + 4.
Числа до 100, кратные 6
От 1 до 100 на 6 делятся 16 чисел: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96. На сотне ниже они подсвечены. Все они есть в таблице умножения на 6.
Частые ошибки
Проверяют одно условие. Чётности мало (8 на 6 не делится), суммы цифр — тоже (9, 15, 21 не делятся на 6). Проверяйте оба признака.
Ищут сумму цифр, кратную 6. Сумма цифр, которая делится на 6, ничего не гарантирует: у 15 сумма цифр 6, но 15 нечётное и на 6 не делится.
Переносят приём на любые множители. Проверять делимость на 24 как «на 4 и на 6» нельзя: 12 делится на 4 и на 6, но не на 24. Правильная пара — 3 и 8.
- Справочник по элементарной математике — признаки делимости. М. Я. Выгодский. Справочник.
- Признаки делимости. Н. Н. Воробьёв. Серия «Популярные лекции по математике», Москва, Наука.
