Признак делимости на 9
Сложите цифры числа: если сумма делится на 9, делится и само число. 4887: 4 + 8 + 8 + 7 = 27, 27 = 9 · 3, значит, 4887 делится на 9: 4887 = 9 · 543.
Если сумма получилась большой, сложите её цифры ещё раз — и так, пока не останется одна цифра. Это число называют цифровым корнем. Число, кроме нуля, делится на 9, если его цифровой корень равен 9: у 987 654 321 сумма цифр 45, а 4 + 5 = 9.
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.— Признак делимости на 9
Почему признак работает
Как и для тройки, всё решает остаток от деления 10 на 9: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Каждая степень десяти на единицу больше числа из одних девяток.
Поэтому 4887 = (4 · 999 + 8 · 99 + 8 · 9) + (4 + 8 + 8 + 7). Слагаемые в первых скобках делятся на 9, и число даёт при делении на 9 тот же остаток, что и сумма его цифр.
10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1
Примеры с решением
4887 делится на 9
Сумма цифр: 4 + 8 + 8 + 7 = 27. 27 делится на 9.
Проверка делением: 4887 = 9 · 543.
4889 не делится на 9
Сумма цифр: 4 + 8 + 8 + 9 = 29. 29 не делится на 9.
Проверка делением: 4889 = 9 · 543 + 2 — остаток 2.
987 654 321 делится на 9
Сумма цифр: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45. 45 делится на 9.
Проверка делением: 987 654 321 = 9 · 109 739 369.
1 000 000 не делится на 9
Сумма цифр: 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1. 1 не делится на 9.
Проверка делением: 1 000 000 = 9 · 111 111 + 1 — остаток 1.
Как найти остаток от деления на 9
Остаток от деления на 9 равен остатку суммы цифр. Удобнее всего — через цифровой корень: если он меньше 9, это и есть остаток, а если равен 9 — остаток 0. 4889 → 29 → 11 → 2, значит, 4889 = 9 · 543 + 2.
На этом держится старинная «проверка девяткой»: остаток произведения при делении на 9 равен остатку произведения остатков множителей. 123 · 456 = 56 088: у 123 цифровой корень 6, у 456 — тоже 6, 6 · 6 = 36 → 9; у 56 088 сумма цифр 27 → 9. Совпало — ошибки, скорее всего, нет.
Числа до 100, кратные 9
От 1 до 100 на 9 делятся 11 чисел: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99. На сотне ниже они подсвечены. Все они есть в таблице умножения на 9.
Частые ошибки
Сумма цифр вместо частного. Сумма цифр говорит только, делится ли число. 4887 : 9 = 543, а не 27 : 9 = 3.
Делится на 3 — значит на 9. Нет: у 12, 21 и 111 сумма цифр 3 — они делятся на 3, но не на 9.
Проверка девяткой ловит всё. Нет: перестановку цифр в ответе она не заметит — 56 088 и 56 808 дают одинаковый цифровой корень 9.
- Математика. 6 класс — делители и кратные, признаки делимости на 10, 5, 2, 9 и 3. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Справочник по элементарной математике — признаки делимости. М. Я. Выгодский. Справочник.
