Признак делимости на 11
Для 11 цифры складывают через одну. Пронумеруйте цифры справа налево и найдите две суммы: цифр на нечётных местах (первой, третьей, пятой…) и на чётных (второй, четвёртой…). Если их разность делится на 11 или равна нулю, делится и число. 918 082: на нечётных местах 2 + 0 + 1 = 3, на чётных 8 + 8 + 9 = 25, разность 3 − 25 = −22 = 11 · (−2), значит, 918 082 делится на 11.
Для двузначных чисел признак превращается в знакомое правило: на 11 делятся 11, 22, 33 … 99 — числа из двух одинаковых цифр. Для трёхзначных есть подсказка: если средняя цифра равна сумме крайних, число делится на 11 — 121, 253, 792.
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах делится на 11 (в том числе равна нулю).— Признак делимости на 11
Почему признак работает
Основа — остаток от деления 10 на 11: 10 = 11 − 1, то есть десятка даёт «остаток −1». Тогда 100 = 99 + 1 даёт остаток 1, 1000 = 1001 − 1 — снова −1, и так далее: степени десяти по очереди дают остатки 1 и −1.
Поэтому цифры на нечётных местах (справа) входят в остаток со знаком плюс, а на чётных — со знаком минус. Знакопеременная сумма цифр и само число дают при делении на 11 один остаток.
d₁ — последняя цифра, d₂ — предпоследняя и так далее; 10 даёт при делении на 11 остаток −1
Примеры с решением
918 082 делится на 11
Цифры на нечётных местах (считая справа): сумма 3; на чётных: 25. Разность 3 − 25 = −22 делится на 11.
Проверка делением: 918 082 = 11 · 83 462.
918 085 не делится на 11
Цифры на нечётных местах (считая справа): сумма 6; на чётных: 25. Разность 6 − 25 = −19 не делится на 11.
Проверка делением: 918 085 = 11 · 83 462 + 3 — остаток 3.
1221 делится на 11
Цифры на нечётных местах (считая справа): сумма 3; на чётных: 3. Разность 3 − 3 = 0 делится на 11.
Проверка делением: 1221 = 11 · 111.
123 456 789 не делится на 11
Цифры на нечётных местах (считая справа): сумма 25; на чётных: 20. Разность 25 − 20 = 5 не делится на 11.
Проверка делением: 123 456 789 = 11 · 11 223 344 + 5 — остаток 5.
Как найти остаток от деления на 11
Если места считать справа, разность даёт и остаток. У 918 085 разность 6 − 25 = −19; прибавляем 11, пока не получится число от 0 до 10: −19 + 22 = 3. Значит, 918 085 = 11 · 83 462 + 3.
Трёхзначное число делится на 11, если сумма крайних цифр минус средняя равна 0 или 11: 121, 253, 792 (разность 0) и 209, 308 (разность 11).
Числа до 100, кратные 11
От 1 до 100 на 11 делятся 9 чисел: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. На сотне ниже они подсвечены. Все они есть в таблице умножения на 11.
Частые ошибки
Складывают все цифры. Сумма цифр для 11 ничего не даёт: у 29 и 92 сумма цифр 11, но ни одно из этих чисел на 11 не делится. Нужна знакопеременная сумма.
Ждут, что разность будет нулём. Подходит любое кратное 11: 0, ±11, ±22… У 918 082 разность −22, и число делится на 11.
Считают места слева. Для ответа «делится или нет» направление не важно, но остаток получается правильным только при счёте справа, от единиц.
- Признаки делимости. Н. Н. Воробьёв. Серия «Популярные лекции по математике», Москва, Наука.
- Справочник по элементарной математике — признаки делимости. М. Я. Выгодский. Справочник.
