Чему равно 1/12 в десятичной дроби
Дробь 1/12 — это 1 разделить на 12. Если выполнить деление, получится 0,08(3) — бесконечная периодическая дробь: после запятой сначала идут цифры 08, а потом без конца повторяется цифра 3.
Скобки — стандартная запись периода: 0,08(3) читается как «0 целых, 08 и 3 в периоде». В расчётах периодическую дробь округляют: 1/12 ≈ 0,08 или ≈ 0,083.
Деление уголком: 1 на 12
Делите числитель на знаменатель столбиком. Целых нет: 1 меньше 12, пишем 0 и ставим запятую. Дальше на каждом шаге остаток умножают на 10 (сносят ноль) и снова делят на 12: частное — очередная цифра после запятой, остаток переходит на следующий шаг.
После шага 3 остаток снова равен 4, как перед шагом 3 (строка выделена). Дальше всё пойдёт по кругу — цифры 3 будут повторяться бесконечно.
Почему у 1/12 период 3
В знаменателе 12 есть простой множитель, отличный от 2 и 5 (12 = 2² · 3). Ни одна степень десяти на 3 не делится, поэтому деление никогда не закончится. А ненулевых остатков при делении на 12 может быть только 11, так что рано или поздно какой-то из них повторится. Длина периода — наименьшее k, при котором 10ᵏ − 1 делится на 3: здесь k = 1. Перед периодом стоит 2 цифры — столько, сколько двоек или пятёрок в знаменателе (берётся наибольший показатель).
Округление и проценты
Округляют по первой отбрасываемой цифре: если она 5 или больше, предыдущую увеличивают на единицу. 1/12 = 0,08333…, поэтому до десятых — 0,1, до сотых — 0,08, до тысячных — 0,083.
В процентах дробь умножают на 100: 1/12 · 100 % = 8,(3) %. Округлённо — 8,3 %.
Несократимая дробь даёт конечную десятичную, только если знаменатель раскладывается на двойки и пятёрки. Любой другой простой множитель в знаменателе — и дробь будет периодической.— Правило
Обратный перевод: 0,08(3) в обыкновенную дробь
Для периодической дроби обозначим x = 0,08(3). Умножим x на 10³, чтобы запятая встала после первого периода, и на 10², чтобы она встала перед периодом, и вычтем одно из другого — бесконечные хвосты сократятся: 10³x − 10²x = 83 − 8 = 75, откуда x = 75/900 = 1/12 (сократили на 75).
Другие дроби со знаменателем 12
Любую другую дробь — в том числе с большими числами и периодами в десятки цифр — переводит калькулятор дробей: он же выполняет обратный перевод периодических дробей.
- Математика. 5 класс — десятичные дроби, округление чисел. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Математика. 6 класс — разложение обыкновенной дроби в десятичную, периодические дроби. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — длина периода десятичной дроби и показатель числа 10 по модулю. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
