Как перевести обыкновенную дробь в десятичную
Обыкновенная дробь — это деление: 3/8 значит «3 разделить на 8». Чтобы получить десятичную запись, делите числитель на знаменатель уголком: 3 на 8 не делится — пишем 0 и ставим запятую, сносим ноль: 30 : 8 = 3 (остаток 6), 60 : 8 = 7 (остаток 4), 40 : 8 = 5 (остаток 0). Остаток ноль — деление закончено, 3/8 = 0,375.
Бывает, что деление не заканчивается никогда: 1 : 3 = 0,333… Тогда цифры после запятой начинают повторяться, и дробь записывают с периодом в скобках — 0,(3). Калькулятор выше находит период точно: он следит за остатками, а повтор остатка означает, что с этого места цифры пойдут по кругу.
Таблица перевода частых дробей
Когда получается конечная десятичная дробь
Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000… А 10 = 2 · 5. Поэтому несократимая обыкновенная дробь превращается в конечную десятичную, только если её знаменатель раскладывается на двойки и пятёрки: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50 и так далее. Такую дробь можно просто домножить: 7/20 = 35/100 = 0,35, 3/16 = 1875/10 000 = 0,1875. Знаков после запятой будет столько, каков наибольший из показателей двойки и пятёрки в знаменателе: у 16 = 2⁴ — четыре знака.
Сначала сократите дробь, потом смотрите на знаменатель: 3/12 = 1/4 = 0,25 — конечная, хотя 12 делится на 3.— Правило
Периодические дроби
Если в знаменателе есть другой простой множитель — 3, 7, 11, 13… — деление бесконечно, и цифры повторяются. Период начинается сразу после запятой, если в знаменателе нет двоек и пятёрок: 1/3 = 0,(3), 1/7 = 0,(142857) — это чистая периодическая дробь. Если двойки или пятёрки есть, перед периодом идут «лишние» цифры — смешанная периодическая дробь: 1/6 = 0,1(6), 5/12 = 0,41(6).
Длина периода не больше, чем знаменатель минус один, — остатков при делении на q всего q − 1 ненулевых. Для некоторых простых знаменателей период ровно такой длины: 1/7 — 6 цифр, 1/17 — 16 цифр, 1/19 — 18 цифр, 1/23 — 22 цифры, 1/29 — 28 цифр. А у 1/11 = 0,(09) период всего из двух цифр.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную
Конечную — запишите цифры после запятой над единицей с таким же числом нулей и сократите: 0,125 = 125/1000 = 1/8, 2,5 = 25/10 = 5/2. Периодическую — через уравнение. Пусть x = 0,1(6). Тогда 100x = 16,(6) и 10x = 1,(6); вычитаем: 90x = 15, x = 15/90 = 1/6. Отсюда общее правило: числитель — цифры до конца первого периода минус цифры до периода, знаменатель — девятки по числу цифр периода и нули по числу цифр между запятой и периодом.
Второй режим калькулятора делает это автоматически: введите дробь со скобками, например 1,2(34), и получите несократимую обыкновенную — 611/495, с промежуточным результатом до сокращения.
- Математика. 5 класс — десятичные дроби, округление чисел. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Математика. 6 класс — разложение обыкновенной дроби в десятичную, периодические дроби. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — длина периода десятичной дроби и показатель числа 10 по модулю. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
