Чему равно 3/7 в десятичной дроби
Дробь 3/7 — это 3 разделить на 7. Если выполнить деление, получится 0,(428571) — бесконечная периодическая дробь: после запятой без конца повторяется группа цифр 428571.
Скобки — стандартная запись периода: 0,(428571) читается как «0 целых 428571 в периоде». В расчётах периодическую дробь округляют: 3/7 ≈ 0,43 или ≈ 0,429.
Деление уголком: 3 на 7
Делите числитель на знаменатель столбиком. Целых нет: 3 меньше 7, пишем 0 и ставим запятую. Дальше на каждом шаге остаток умножают на 10 (сносят ноль) и снова делят на 7: частное — очередная цифра после запятой, остаток переходит на следующий шаг.
После шага 6 остаток снова равен 3, как перед шагом 1 (строка выделена). Дальше всё пойдёт по кругу — цифры 428571 будут повторяться бесконечно.
Почему у 3/7 период 428571
В знаменателе 7 есть простой множитель, отличный от 2 и 5. Ни одна степень десяти на 7 не делится, поэтому деление никогда не закончится. А ненулевых остатков при делении на 7 может быть только 6, так что рано или поздно какой-то из них повторится. Длина периода — наименьшее k, при котором 10ᵏ − 1 делится на 7: здесь k = 6 — максимально возможная длина для знаменателя 7. Двоек и пятёрок в знаменателе нет, поэтому период начинается сразу после запятой — это чистая периодическая дробь.
У семёрки особенный период: 1/7 = 0,(142857), и дроби 2/7, 3/7 … 6/7 записываются теми же шестью цифрами, только сдвинутыми по кругу: 2/7 = 0,(285714), 3/7 = 0,(428571), 4/7 = 0,(571428), 5/7 = 0,(714285), 6/7 = 0,(857142). Число 142857 называют циклическим.
Округление и проценты
Округляют по первой отбрасываемой цифре: если она 5 или больше, предыдущую увеличивают на единицу. 3/7 = 0,42857…, поэтому до десятых — 0,4, до сотых — 0,43, до тысячных — 0,429.
В процентах дробь умножают на 100: 3/7 · 100 % = 42,(857142) %. Округлённо — 42,9 %.
Несократимая дробь даёт конечную десятичную, только если знаменатель раскладывается на двойки и пятёрки. Любой другой простой множитель в знаменателе — и дробь будет периодической.— Правило
Обратный перевод: 0,(428571) в обыкновенную дробь
Для периодической дроби обозначим x = 0,(428571). Умножим x на 10⁶, чтобы запятая встала после первого периода, и вычтем одно из другого — бесконечные хвосты сократятся: 10⁶x − x = 428571 − 0 = 428571, откуда x = 428571/999999 = 3/7 (сократили на 142857).
Другие дроби со знаменателем 7
Любую другую дробь — в том числе с большими числами и периодами в десятки цифр — переводит калькулятор дробей: он же выполняет обратный перевод периодических дробей.
- Математика. 5 класс — десятичные дроби, округление чисел. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Математика. 6 класс — разложение обыкновенной дроби в десятичную, периодические дроби. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — длина периода десятичной дроби и показатель числа 10 по модулю. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
