Чему равно 2/9 в десятичной дроби
Дробь 2/9 — это 2 разделить на 9. Если выполнить деление, получится 0,(2) — бесконечная периодическая дробь: после запятой без конца повторяется цифра 2.
Скобки — стандартная запись периода: 0,(2) читается как «0 целых 2 в периоде». В расчётах периодическую дробь округляют: 2/9 ≈ 0,22 или ≈ 0,222.
Деление уголком: 2 на 9
Делите числитель на знаменатель столбиком. Целых нет: 2 меньше 9, пишем 0 и ставим запятую. Дальше на каждом шаге остаток умножают на 10 (сносят ноль) и снова делят на 9: частное — очередная цифра после запятой, остаток переходит на следующий шаг.
После шага 1 остаток снова равен 2, как перед шагом 1 (строка выделена). Дальше всё пойдёт по кругу — цифры 2 будут повторяться бесконечно.
Почему у 2/9 период 2
В знаменателе 9 есть простой множитель, отличный от 2 и 5. Ни одна степень десяти на 9 не делится, поэтому деление никогда не закончится. А ненулевых остатков при делении на 9 может быть только 8, так что рано или поздно какой-то из них повторится. Длина периода — наименьшее k, при котором 10ᵏ − 1 делится на 9: здесь k = 1. Двоек и пятёрок в знаменателе нет, поэтому период начинается сразу после запятой — это чистая периодическая дробь.
Округление и проценты
Округляют по первой отбрасываемой цифре: если она 5 или больше, предыдущую увеличивают на единицу. 2/9 = 0,22222…, поэтому до десятых — 0,2, до сотых — 0,22, до тысячных — 0,222.
В процентах дробь умножают на 100: 2/9 · 100 % = 22,(2) %. Округлённо — 22,2 %.
Несократимая дробь даёт конечную десятичную, только если знаменатель раскладывается на двойки и пятёрки. Любой другой простой множитель в знаменателе — и дробь будет периодической.— Правило
Обратный перевод: 0,(2) в обыкновенную дробь
Для периодической дроби обозначим x = 0,(2). Умножим x на 10¹, чтобы запятая встала после первого периода, и вычтем одно из другого — бесконечные хвосты сократятся: 10¹x − x = 2 − 0 = 2, откуда x = 2/9.
Другие дроби со знаменателем 9
Любую другую дробь — в том числе с большими числами и периодами в десятки цифр — переводит калькулятор дробей: он же выполняет обратный перевод периодических дробей.
- Математика. 5 класс — десятичные дроби, округление чисел. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Математика. 6 класс — разложение обыкновенной дроби в десятичную, периодические дроби. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — длина периода десятичной дроби и показатель числа 10 по модулю. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
