Чему равно 1/15 в десятичной дроби
Дробь 1/15 — это 1 разделить на 15. Если выполнить деление, получится 0,0(6) — бесконечная периодическая дробь: после запятой сначала идёт цифра 0, а потом без конца повторяется цифра 6.
Скобки — стандартная запись периода: 0,0(6) читается как «0 целых, 0 и 6 в периоде». В расчётах периодическую дробь округляют: 1/15 ≈ 0,07 или ≈ 0,067.
Деление уголком: 1 на 15
Делите числитель на знаменатель столбиком. Целых нет: 1 меньше 15, пишем 0 и ставим запятую. Дальше на каждом шаге остаток умножают на 10 (сносят ноль) и снова делят на 15: частное — очередная цифра после запятой, остаток переходит на следующий шаг.
После шага 2 остаток снова равен 10, как перед шагом 2 (строка выделена). Дальше всё пойдёт по кругу — цифры 6 будут повторяться бесконечно.
Почему у 1/15 период 6
В знаменателе 15 есть простой множитель, отличный от 2 и 5 (15 = 3 · 5). Ни одна степень десяти на 3 не делится, поэтому деление никогда не закончится. А ненулевых остатков при делении на 15 может быть только 14, так что рано или поздно какой-то из них повторится. Длина периода — наименьшее k, при котором 10ᵏ − 1 делится на 3: здесь k = 1. Перед периодом стоит 1 цифра — столько, сколько двоек или пятёрок в знаменателе (берётся наибольший показатель).
Округление и проценты
Округляют по первой отбрасываемой цифре: если она 5 или больше, предыдущую увеличивают на единицу. 1/15 = 0,06666…, поэтому до десятых — 0,1, до сотых — 0,07, до тысячных — 0,067.
В процентах дробь умножают на 100: 1/15 · 100 % = 6,(6) %. Округлённо — 6,7 %.
Несократимая дробь даёт конечную десятичную, только если знаменатель раскладывается на двойки и пятёрки. Любой другой простой множитель в знаменателе — и дробь будет периодической.— Правило
Обратный перевод: 0,0(6) в обыкновенную дробь
Для периодической дроби обозначим x = 0,0(6). Умножим x на 10², чтобы запятая встала после первого периода, и на 10¹, чтобы она встала перед периодом, и вычтем одно из другого — бесконечные хвосты сократятся: 10²x − 10¹x = 6 − 0 = 6, откуда x = 6/90 = 1/15 (сократили на 6).
Другие дроби со знаменателем 15
Любую другую дробь — в том числе с большими числами и периодами в десятки цифр — переводит калькулятор дробей: он же выполняет обратный перевод периодических дробей.
- Математика. 5 класс — десятичные дроби, округление чисел. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Математика. 6 класс — разложение обыкновенной дроби в десятичную, периодические дроби. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — длина периода десятичной дроби и показатель числа 10 по модулю. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
