Что значит разложить 1001 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 1001 оно такое: 1001 = 7 · 11 · 13, а короче, со степенями, — 7 · 11 · 13.
Проверка — обратное умножение: 7 · 11 · 13 = 1001.
Разложение 1001 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 1001 | 7 |
| 143 | 11 |
| 13 | 13 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 7 · 11 · 13 = 1001. Все множители разные, поэтому степени не нужны.
Разложение 1001 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 7 · 11 · 13.
Все делители числа 1001
Каждый делитель 1001 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (1 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 8: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 1001:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(1001) = (1 + 7) · (1 + 11) · (1 + 13) = 8 · 12 · 14 = 1 344. Без самого числа получается 343 — меньше, чем 1001, поэтому 1001 — недостаточное число.
Свойства числа 1001
- Нечётное: двойки в разложении нет.
- Не точный квадрат: 7, 11, 13 — в нечётной степени.
- Делится на 11 (знакочередующаяся сумма цифр делится на 11).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 1001, взаимно простых с 1001, — φ(1001) = 1001 · (1 − 1/7) · (1 − 1/11) · (1 − 1/13) = 720.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 1001 нет множителей 2, 3, 5 — поэтому 1001 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 1001 и 1024 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 1024 = 2¹⁰. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(1001, 1024) = 1 — общих множителей нет. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(1001, 1024) = 2¹⁰ · 7 · 11 · 13 = 1 025 024.
Проверка: НОД · НОК = 1 · 1 025 024 = 1 025 024 = 1001 · 1024. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
