Что значит разложить 500 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 500 оно такое: 500 = 2 · 2 · 5 · 5 · 5, а короче, со степенями, — 2² · 5³.
Проверка — обратное умножение: 2² = 4, 5³ = 125; 4 · 125 = 500.
Разложение 500 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 500 | 2 |
| 250 | 2 |
| 125 | 5 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = 500. Одинаковые множители собираем в степени: 2² · 5³.
Разложение 500 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = 2² · 5³.
Все делители числа 500
Каждый делитель 500 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (2 + 1) · (3 + 1) = 12: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 500:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(500) = (1 + 2 + 4) · (1 + 5 + 25 + 125) = 7 · 156 = 1 092. Без самого числа получается 592 — больше, чем 500, поэтому 500 — избыточное число.
Свойства числа 500
- Чётное: в разложении есть двойка (2²).
- Не точный квадрат: 5³ — в нечётной степени.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 4 (две последние цифры делятся на 4); 5 (оканчивается на 0 или 5); 10 (оканчивается нулём); 25 (две последние цифры — 00, 25, 50 или 75); 100 (оканчивается двумя нулями).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 500, взаимно простых с 500, — φ(500) = 500 · (1 − 1/2) · (1 − 1/5) = 200.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 500 нет множителей 3, 7 — поэтому 500 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 500 и 540 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 540 = 2² · 3³ · 5. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(500, 540) = 2² · 5 = 20. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(500, 540) = 2² · 3³ · 5³ = 13 500.
Проверка: НОД · НОК = 20 · 13 500 = 270 000 = 500 · 540. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
