Что значит разложить 480 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 480 оно такое: 480 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5, а короче, со степенями, — 2⁵ · 3 · 5.
Проверка — обратное умножение: 2⁵ = 32; 32 · 3 · 5 = 480.
Разложение 480 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 480 | 2 |
| 240 | 2 |
| 120 | 2 |
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 480. Одинаковые множители собираем в степени: 2⁵ · 3 · 5.
Разложение 480 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2⁵ · 3 · 5.
Все делители числа 480
Каждый делитель 480 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (5 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 24: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 480:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(480) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32) · (1 + 3) · (1 + 5) = 63 · 4 · 6 = 1 512. Без самого числа получается 1 032 — больше, чем 480, поэтому 480 — избыточное число.
Свойства числа 480
- Чётное: в разложении есть двойка (2⁵).
- Не точный квадрат: 2⁵, 3, 5 — в нечётной степени.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 3 (сумма цифр делится на 3); 4 (две последние цифры делятся на 4); 5 (оканчивается на 0 или 5); 6 (делится на 2 и на 3); 8 (три последние цифры делятся на 8); 10 (оканчивается нулём).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 480, взаимно простых с 480, — φ(480) = 480 · (1 − 1/2) · (1 − 1/3) · (1 − 1/5) = 128.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 480 нет множителя 7 — поэтому 480 на это число не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 480 и 500 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 500 = 2² · 5³. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(480, 500) = 2² · 5 = 20. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(480, 500) = 2⁵ · 3 · 5³ = 12 000.
Проверка: НОД · НОК = 20 · 12 000 = 240 000 = 480 · 500. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
