Что значит разложить 2520 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 2520 оно такое: 2520 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7, а короче, со степенями, — 2³ · 3² · 5 · 7.
Проверка — обратное умножение: 2³ = 8, 3² = 9; 8 · 9 · 5 · 7 = 2520.
Разложение 2520 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 2520 | 2 |
| 1260 | 2 |
| 630 | 2 |
| 315 | 3 |
| 105 | 3 |
| 35 | 5 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2520. Одинаковые множители собираем в степени: 2³ · 3² · 5 · 7.
Разложение 2520 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2³ · 3² · 5 · 7.
Все делители числа 2520
Каждый делитель 2520 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 48: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 2520:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(2520) = (1 + 2 + 4 + 8) · (1 + 3 + 9) · (1 + 5) · (1 + 7) = 15 · 13 · 6 · 8 = 9 360. Без самого числа получается 6 840 — больше, чем 2520, поэтому 2520 — избыточное число.
Свойства числа 2520
- Чётное: в разложении есть двойка (2³).
- Не точный квадрат: 2³, 5, 7 — в нечётной степени.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 3 (сумма цифр делится на 3); 4 (две последние цифры делятся на 4); 5 (оканчивается на 0 или 5); 6 (делится на 2 и на 3); 8 (три последние цифры делятся на 8); 9 (сумма цифр делится на 9); 10 (оканчивается нулём).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 2520, взаимно простых с 2520, — φ(2520) = 2520 · (1 − 1/2) · (1 − 1/3) · (1 − 1/5) · (1 − 1/7) = 576.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 2520 есть все простые до 7 — 2, 3, 5 и 7.— Правило
НОД и НОК чисел 2520 и 3600 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 3600 = 2⁴ · 3² · 5². НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(2520, 3600) = 2³ · 3² · 5 = 360. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(2520, 3600) = 2⁴ · 3² · 5² · 7 = 25 200.
Проверка: НОД · НОК = 360 · 25 200 = 9 072 000 = 2520 · 3600. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
