Что значит разложить 42 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 42 оно такое: 42 = 2 · 3 · 7, а короче, со степенями, — 2 · 3 · 7.
Проверка — обратное умножение: 2 · 3 · 7 = 42.
Разложение 42 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 42 | 2 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 3 · 7 = 42. Все множители разные, поэтому степени не нужны.
Разложение 42 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 3 · 7.
Все делители числа 42
Каждый делитель 42 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (1 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 8: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 42:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(42) = (1 + 2) · (1 + 3) · (1 + 7) = 3 · 4 · 8 = 96. Без самого числа получается 54 — больше, чем 42, поэтому 42 — избыточное число.
Свойства числа 42
- Чётное: в разложении есть двойка (2¹).
- Не точный квадрат: 2, 3, 7 — в нечётной степени.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 3 (сумма цифр делится на 3); 6 (делится на 2 и на 3).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 42, взаимно простых с 42, — φ(42) = 42 · (1 − 1/2) · (1 − 1/3) · (1 − 1/7) = 12.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 42 нет множителя 5 — поэтому 42 на это число не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 42 и 45 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 45 = 3² · 5. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(42, 45) = 3 = 3. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(42, 45) = 2 · 3² · 5 · 7 = 630.
Проверка: НОД · НОК = 3 · 630 = 1 890 = 42 · 45. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
