Что значит разложить 315 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 315 оно такое: 315 = 3 · 3 · 5 · 7, а короче, со степенями, — 3² · 5 · 7.
Проверка — обратное умножение: 3² = 9; 9 · 5 · 7 = 315.
Разложение 315 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 315 | 3 |
| 105 | 3 |
| 35 | 5 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 3 · 3 · 5 · 7 = 315. Одинаковые множители собираем в степени: 3² · 5 · 7.
Разложение 315 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 3 · 3 · 5 · 7 = 3² · 5 · 7.
Все делители числа 315
Каждый делитель 315 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 12: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 315:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(315) = (1 + 3 + 9) · (1 + 5) · (1 + 7) = 13 · 6 · 8 = 624. Без самого числа получается 309 — меньше, чем 315, поэтому 315 — недостаточное число.
Свойства числа 315
- Нечётное: двойки в разложении нет.
- Не точный квадрат: 5, 7 — в нечётной степени.
- Делится на 3 (сумма цифр делится на 3); 5 (оканчивается на 0 или 5); 9 (сумма цифр делится на 9).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 315, взаимно простых с 315, — φ(315) = 315 · (1 − 1/3) · (1 − 1/5) · (1 − 1/7) = 144.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 315 нет множителя 2 — поэтому 315 на это число не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 315 и 324 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 324 = 2² · 3⁴. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(315, 324) = 3² = 9. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(315, 324) = 2² · 3⁴ · 5 · 7 = 11 340.
Проверка: НОД · НОК = 9 · 11 340 = 102 060 = 315 · 324. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
