Что значит разложить 64 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 64 оно такое: 64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2, а короче, со степенями, — 2⁶.
Проверка — обратное умножение: 2⁶ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64.
Разложение 64 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 64 | 2 |
| 32 | 2 |
| 16 | 2 |
| 8 | 2 |
| 4 | 2 |
| 2 | 2 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64. Все множители одинаковые, поэтому 64 = 2⁶ — степень простого числа.
Разложение 64 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁶.
Все делители числа 64
Каждый делитель 64 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (6 + 1) = 7: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 64:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(64) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127. Без самого числа получается 63 — меньше, чем 64, поэтому 64 — недостаточное число.
Свойства числа 64
- Чётное: в разложении есть двойка (2⁶).
- Точный квадрат: все показатели чётные, √64 = 2³ = 8.
- Точный куб: все показатели делятся на 3, ∛64 = 4.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 4 (две последние цифры делятся на 4); 8 (три последние цифры делятся на 8).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 64, взаимно простых с 64, — φ(64) = 64 · (1 − 1/2) = 32.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 64 нет множителей 3, 5, 7 — поэтому 64 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 64 и 72 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 72 = 2³ · 3². НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(64, 72) = 2³ = 8. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(64, 72) = 2⁶ · 3² = 576.
Проверка: НОД · НОК = 8 · 576 = 4 608 = 64 · 72. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
