Что значит разложить 75 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 75 оно такое: 75 = 3 · 5 · 5, а короче, со степенями, — 3 · 5².
Проверка — обратное умножение: 5² = 25; 3 · 25 = 75.
Разложение 75 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 75 | 3 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 3 · 5 · 5 = 75. Одинаковые множители собираем в степени: 3 · 5².
Разложение 75 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 3 · 5 · 5 = 3 · 5².
Все делители числа 75
Каждый делитель 75 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (1 + 1) · (2 + 1) = 6: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 75:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(75) = (1 + 3) · (1 + 5 + 25) = 4 · 31 = 124. Без самого числа получается 49 — меньше, чем 75, поэтому 75 — недостаточное число.
Свойства числа 75
- Нечётное: двойки в разложении нет.
- Не точный квадрат: 3 — в нечётной степени.
- Делится на 3 (сумма цифр делится на 3); 5 (оканчивается на 0 или 5); 25 (две последние цифры — 00, 25, 50 или 75).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 75, взаимно простых с 75, — φ(75) = 75 · (1 − 1/3) · (1 − 1/5) = 40.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 75 нет множителей 2, 7 — поэтому 75 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 75 и 80 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 80 = 2⁴ · 5. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(75, 80) = 5 = 5. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(75, 80) = 2⁴ · 3 · 5² = 1 200.
Проверка: НОД · НОК = 5 · 1 200 = 6 000 = 75 · 80. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
