Что значит разложить 250 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 250 оно такое: 250 = 2 · 5 · 5 · 5, а короче, со степенями, — 2 · 5³.
Проверка — обратное умножение: 5³ = 125; 2 · 125 = 250.
Разложение 250 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 250 | 2 |
| 125 | 5 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 5 · 5 · 5 = 250. Одинаковые множители собираем в степени: 2 · 5³.
Разложение 250 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 5 · 5 · 5 = 2 · 5³.
Все делители числа 250
Каждый делитель 250 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (1 + 1) · (3 + 1) = 8: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 250:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(250) = (1 + 2) · (1 + 5 + 25 + 125) = 3 · 156 = 468. Без самого числа получается 218 — меньше, чем 250, поэтому 250 — недостаточное число.
Свойства числа 250
- Чётное: в разложении есть двойка (2¹).
- Не точный квадрат: 2, 5³ — в нечётной степени.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 5 (оканчивается на 0 или 5); 10 (оканчивается нулём); 25 (две последние цифры — 00, 25, 50 или 75).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 250, взаимно простых с 250, — φ(250) = 250 · (1 − 1/2) · (1 − 1/5) = 100.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 250 нет множителей 3, 7 — поэтому 250 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 250 и 252 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 252 = 2² · 3² · 7. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(250, 252) = 2 = 2. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(250, 252) = 2² · 3² · 5³ · 7 = 31 500.
Проверка: НОД · НОК = 2 · 31 500 = 63 000 = 250 · 252. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
