Что значит разложить 135 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 135 оно такое: 135 = 3 · 3 · 3 · 5, а короче, со степенями, — 3³ · 5.
Проверка — обратное умножение: 3³ = 27; 27 · 5 = 135.
Разложение 135 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 135 | 3 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 3 · 3 · 3 · 5 = 135. Одинаковые множители собираем в степени: 3³ · 5.
Разложение 135 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 3 · 3 · 3 · 5 = 3³ · 5.
Все делители числа 135
Каждый делитель 135 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (3 + 1) · (1 + 1) = 8: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 135:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(135) = (1 + 3 + 9 + 27) · (1 + 5) = 40 · 6 = 240. Без самого числа получается 105 — меньше, чем 135, поэтому 135 — недостаточное число.
Свойства числа 135
- Нечётное: двойки в разложении нет.
- Не точный квадрат: 3³, 5 — в нечётной степени.
- Делится на 3 (сумма цифр делится на 3); 5 (оканчивается на 0 или 5); 9 (сумма цифр делится на 9).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 135, взаимно простых с 135, — φ(135) = 135 · (1 − 1/3) · (1 − 1/5) = 72.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 135 нет множителей 2, 7 — поэтому 135 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 135 и 144 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 144 = 2⁴ · 3². НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(135, 144) = 3² = 9. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(135, 144) = 2⁴ · 3³ · 5 = 2 160.
Проверка: НОД · НОК = 9 · 2 160 = 19 440 = 135 · 144. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
