Что значит разложить 54 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 54 оно такое: 54 = 2 · 3 · 3 · 3, а короче, со степенями, — 2 · 3³.
Проверка — обратное умножение: 3³ = 27; 2 · 27 = 54.
Разложение 54 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 54 | 2 |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 3 · 3 · 3 = 54. Одинаковые множители собираем в степени: 2 · 3³.
Разложение 54 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 3³.
Все делители числа 54
Каждый делитель 54 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (1 + 1) · (3 + 1) = 8: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 54:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(54) = (1 + 2) · (1 + 3 + 9 + 27) = 3 · 40 = 120. Без самого числа получается 66 — больше, чем 54, поэтому 54 — избыточное число.
Свойства числа 54
- Чётное: в разложении есть двойка (2¹).
- Не точный квадрат: 2, 3³ — в нечётной степени.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 3 (сумма цифр делится на 3); 6 (делится на 2 и на 3); 9 (сумма цифр делится на 9).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 54, взаимно простых с 54, — φ(54) = 54 · (1 − 1/2) · (1 − 1/3) = 18.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 54 нет множителей 5, 7 — поэтому 54 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 54 и 56 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 56 = 2³ · 7. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(54, 56) = 2 = 2. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(54, 56) = 2³ · 3³ · 7 = 1 512.
Проверка: НОД · НОК = 2 · 1 512 = 3 024 = 54 · 56. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
