Что значит разложить 56 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 56 оно такое: 56 = 2 · 2 · 2 · 7, а короче, со степенями, — 2³ · 7.
Проверка — обратное умножение: 2³ = 8; 8 · 7 = 56.
Разложение 56 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 56 | 2 |
| 28 | 2 |
| 14 | 2 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 2 · 7 = 56. Одинаковые множители собираем в степени: 2³ · 7.
Разложение 56 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 2 · 7 = 2³ · 7.
Все делители числа 56
Каждый делитель 56 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (3 + 1) · (1 + 1) = 8: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 56:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(56) = (1 + 2 + 4 + 8) · (1 + 7) = 15 · 8 = 120. Без самого числа получается 64 — больше, чем 56, поэтому 56 — избыточное число.
Свойства числа 56
- Чётное: в разложении есть двойка (2³).
- Не точный квадрат: 2³, 7 — в нечётной степени.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 4 (две последние цифры делятся на 4); 8 (три последние цифры делятся на 8).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 56, взаимно простых с 56, — φ(56) = 56 · (1 − 1/2) · (1 − 1/7) = 24.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 56 нет множителей 3, 5 — поэтому 56 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 56 и 60 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 60 = 2² · 3 · 5. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(56, 60) = 2² = 4. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(56, 60) = 2³ · 3 · 5 · 7 = 840.
Проверка: НОД · НОК = 4 · 840 = 3 360 = 56 · 60. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
