Что значит разложить 60 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 60 оно такое: 60 = 2 · 2 · 3 · 5, а короче, со степенями, — 2² · 3 · 5.
Проверка — обратное умножение: 2² = 4; 4 · 3 · 5 = 60.
Разложение 60 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 3 · 5 = 60. Одинаковые множители собираем в степени: 2² · 3 · 5.
Разложение 60 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5.
Все делители числа 60
Каждый делитель 60 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 12: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 60:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(60) = (1 + 2 + 4) · (1 + 3) · (1 + 5) = 7 · 4 · 6 = 168. Без самого числа получается 108 — больше, чем 60, поэтому 60 — избыточное число.
Свойства числа 60
- Чётное: в разложении есть двойка (2²).
- Не точный квадрат: 3, 5 — в нечётной степени.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 3 (сумма цифр делится на 3); 4 (две последние цифры делятся на 4); 5 (оканчивается на 0 или 5); 6 (делится на 2 и на 3); 10 (оканчивается нулём).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 60, взаимно простых с 60, — φ(60) = 60 · (1 − 1/2) · (1 − 1/3) · (1 − 1/5) = 16.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 60 нет множителя 7 — поэтому 60 на это число не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 60 и 64 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 64 = 2⁶. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(60, 64) = 2² = 4. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(60, 64) = 2⁶ · 3 · 5 = 960.
Проверка: НОД · НОК = 4 · 960 = 3 840 = 60 · 64. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
