Что значит разложить 72 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 72 оно такое: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3, а короче, со степенями, — 2³ · 3².
Проверка — обратное умножение: 2³ = 8, 3² = 9; 8 · 9 = 72.
Разложение 72 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 72 | 2 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72. Одинаковые множители собираем в степени: 2³ · 3².
Разложение 72 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3².
Все делители числа 72
Каждый делитель 72 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (3 + 1) · (2 + 1) = 12: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 72:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(72) = (1 + 2 + 4 + 8) · (1 + 3 + 9) = 15 · 13 = 195. Без самого числа получается 123 — больше, чем 72, поэтому 72 — избыточное число.
Свойства числа 72
- Чётное: в разложении есть двойка (2³).
- Не точный квадрат: 2³ — в нечётной степени.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 3 (сумма цифр делится на 3); 4 (две последние цифры делятся на 4); 6 (делится на 2 и на 3); 8 (три последние цифры делятся на 8); 9 (сумма цифр делится на 9).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 72, взаимно простых с 72, — φ(72) = 72 · (1 − 1/2) · (1 − 1/3) = 24.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 72 нет множителей 5, 7 — поэтому 72 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 72 и 75 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 75 = 3 · 5². НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(72, 75) = 3 = 3. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(72, 75) = 2³ · 3² · 5² = 1 800.
Проверка: НОД · НОК = 3 · 1 800 = 5 400 = 72 · 75. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
