Что значит разложить 105 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 105 оно такое: 105 = 3 · 5 · 7, а короче, со степенями, — 3 · 5 · 7.
Проверка — обратное умножение: 3 · 5 · 7 = 105.
Разложение 105 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 105 | 3 |
| 35 | 5 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 3 · 5 · 7 = 105. Все множители разные, поэтому степени не нужны.
Разложение 105 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 3 · 5 · 7.
Все делители числа 105
Каждый делитель 105 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (1 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 8: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 105:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(105) = (1 + 3) · (1 + 5) · (1 + 7) = 4 · 6 · 8 = 192. Без самого числа получается 87 — меньше, чем 105, поэтому 105 — недостаточное число.
Свойства числа 105
- Нечётное: двойки в разложении нет.
- Не точный квадрат: 3, 5, 7 — в нечётной степени.
- Делится на 3 (сумма цифр делится на 3); 5 (оканчивается на 0 или 5).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 105, взаимно простых с 105, — φ(105) = 105 · (1 − 1/3) · (1 − 1/5) · (1 − 1/7) = 48.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 105 нет множителя 2 — поэтому 105 на это число не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 105 и 108 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 108 = 2² · 3³. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(105, 108) = 3 = 3. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(105, 108) = 2² · 3³ · 5 · 7 = 3 780.
Проверка: НОД · НОК = 3 · 3 780 = 11 340 = 105 · 108. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
