Что значит разложить 196 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 196 оно такое: 196 = 2 · 2 · 7 · 7, а короче, со степенями, — 2² · 7².
Проверка — обратное умножение: 2² = 4, 7² = 49; 4 · 49 = 196.
Разложение 196 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 196 | 2 |
| 98 | 2 |
| 49 | 7 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 7 · 7 = 196. Одинаковые множители собираем в степени: 2² · 7².
Разложение 196 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 7 · 7 = 2² · 7².
Все делители числа 196
Каждый делитель 196 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (2 + 1) · (2 + 1) = 9: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 196:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(196) = (1 + 2 + 4) · (1 + 7 + 49) = 7 · 57 = 399. Без самого числа получается 203 — больше, чем 196, поэтому 196 — избыточное число.
Свойства числа 196
- Чётное: в разложении есть двойка (2²).
- Точный квадрат: все показатели чётные, √196 = 2 · 7 = 14.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 4 (две последние цифры делятся на 4).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 196, взаимно простых с 196, — φ(196) = 196 · (1 − 1/2) · (1 − 1/7) = 84.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 196 нет множителей 3, 5 — поэтому 196 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 196 и 200 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 200 = 2³ · 5². НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(196, 200) = 2² = 4. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(196, 200) = 2³ · 5² · 7² = 9 800.
Проверка: НОД · НОК = 4 · 9 800 = 39 200 = 196 · 200. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
