Что значит разложить 1080 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 1080 оно такое: 1080 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5, а короче, со степенями, — 2³ · 3³ · 5.
Проверка — обратное умножение: 2³ = 8, 3³ = 27; 8 · 27 · 5 = 1080.
Разложение 1080 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 1080 | 2 |
| 540 | 2 |
| 270 | 2 |
| 135 | 3 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 1080. Одинаковые множители собираем в степени: 2³ · 3³ · 5.
Разложение 1080 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3³ · 5.
Все делители числа 1080
Каждый делитель 1080 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (3 + 1) · (3 + 1) · (1 + 1) = 32: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 1080:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(1080) = (1 + 2 + 4 + 8) · (1 + 3 + 9 + 27) · (1 + 5) = 15 · 40 · 6 = 3 600. Без самого числа получается 2 520 — больше, чем 1080, поэтому 1080 — избыточное число.
Свойства числа 1080
- Чётное: в разложении есть двойка (2³).
- Не точный квадрат: 2³, 3³, 5 — в нечётной степени.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 3 (сумма цифр делится на 3); 4 (две последние цифры делятся на 4); 5 (оканчивается на 0 или 5); 6 (делится на 2 и на 3); 8 (три последние цифры делятся на 8); 9 (сумма цифр делится на 9); 10 (оканчивается нулём).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 1080, взаимно простых с 1080, — φ(1080) = 1080 · (1 − 1/2) · (1 − 1/3) · (1 − 1/5) = 288.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 1080 нет множителя 7 — поэтому 1080 на это число не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 1080 и 1260 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 1260 = 2² · 3² · 5 · 7. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(1080, 1260) = 2² · 3² · 5 = 180. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(1080, 1260) = 2³ · 3³ · 5 · 7 = 7 560.
Проверка: НОД · НОК = 180 · 7 560 = 1 360 800 = 1080 · 1260. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
