Что значит разложить 28 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 28 оно такое: 28 = 2 · 2 · 7, а короче, со степенями, — 2² · 7.
Проверка — обратное умножение: 2² = 4; 4 · 7 = 28.
Разложение 28 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 28 | 2 |
| 14 | 2 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 7 = 28. Одинаковые множители собираем в степени: 2² · 7.
Разложение 28 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 7 = 2² · 7.
Все делители числа 28
Каждый делитель 28 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (2 + 1) · (1 + 1) = 6: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 28:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(28) = (1 + 2 + 4) · (1 + 7) = 7 · 8 = 56. Без самого числа получается 28 — столько же, сколько само число: 28 — совершенное число. Совершенных чисел до 10 000 всего четыре: 6, 28, 496 и 8128.
Свойства числа 28
- Чётное: в разложении есть двойка (2²).
- Не точный квадрат: 7 — в нечётной степени.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 4 (две последние цифры делятся на 4).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 28, взаимно простых с 28, — φ(28) = 28 · (1 − 1/2) · (1 − 1/7) = 12.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 28 нет множителей 3, 5 — поэтому 28 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 28 и 30 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 30 = 2 · 3 · 5. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(28, 30) = 2 = 2. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(28, 30) = 2² · 3 · 5 · 7 = 420.
Проверка: НОД · НОК = 2 · 420 = 840 = 28 · 30. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
