Что значит разложить 324 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 324 оно такое: 324 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3, а короче, со степенями, — 2² · 3⁴.
Проверка — обратное умножение: 2² = 4, 3⁴ = 81; 4 · 81 = 324.
Разложение 324 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 324 | 2 |
| 162 | 2 |
| 81 | 3 |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 = 324. Одинаковые множители собираем в степени: 2² · 3⁴.
Разложение 324 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 = 2² · 3⁴.
Все делители числа 324
Каждый делитель 324 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (2 + 1) · (4 + 1) = 15: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 324:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(324) = (1 + 2 + 4) · (1 + 3 + 9 + 27 + 81) = 7 · 121 = 847. Без самого числа получается 523 — больше, чем 324, поэтому 324 — избыточное число.
Свойства числа 324
- Чётное: в разложении есть двойка (2²).
- Точный квадрат: все показатели чётные, √324 = 2 · 3² = 18.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 3 (сумма цифр делится на 3); 4 (две последние цифры делятся на 4); 6 (делится на 2 и на 3); 9 (сумма цифр делится на 9).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 324, взаимно простых с 324, — φ(324) = 324 · (1 − 1/2) · (1 − 1/3) = 108.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 324 нет множителей 5, 7 — поэтому 324 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 324 и 360 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 360 = 2³ · 3² · 5. НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(324, 360) = 2² · 3² = 36. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(324, 360) = 2³ · 3⁴ · 5 = 3 240.
Проверка: НОД · НОК = 36 · 3 240 = 116 640 = 324 · 360. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
