Что значит разложить 216 на простые множители
Разложить число на простые множители — записать его произведением простых чисел, то есть чисел, которые делятся только на 1 и на себя. По основной теореме арифметики такое разложение единственно, если не считать порядка множителей. Для 216 оно такое: 216 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3, а короче, со степенями, — 2³ · 3³.
Проверка — обратное умножение: 2³ = 8, 3³ = 27; 8 · 27 = 216.
Разложение 216 столбиком
Запишите число слева от вертикальной черты и делите его на наименьшее простое число, на которое оно делится: сначала на 2, пока делится, потом на 3, на 5 и так далее. Делитель пишут справа, частное — под числом. Когда слева получится 1, справа окажутся все простые множители.
| 216 | 2 |
| 108 | 2 |
| 54 | 2 |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
Выписываем правый столбец: 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 216. Одинаковые множители собираем в степени: 2³ · 3³.
Разложение 216 деревом
Второй способ — дерево: разбейте число на два удобных множителя, потом так же разбейте каждый составной множитель, пока не останутся одни простые — «листья» дерева. Начать можно с любой пары, ответ всё равно получится один и тот же.
Жирным выделены простые множители — листья дерева. Их произведение: 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 2³ · 3³.
Все делители числа 216
Каждый делитель 216 — произведение тех же простых множителей в степенях не выше, чем в разложении. Поэтому число делителей равно (3 + 1) · (3 + 1) = 16: для каждого простого выбираем показатель от 0 до максимального. Делители удобно выписывать парами, произведение пары равно 216:
Сумма всех делителей считается тоже по разложению: σ(216) = (1 + 2 + 4 + 8) · (1 + 3 + 9 + 27) = 15 · 40 = 600. Без самого числа получается 384 — больше, чем 216, поэтому 216 — избыточное число.
Свойства числа 216
- Чётное: в разложении есть двойка (2³).
- Не точный квадрат: 2³, 3³ — в нечётной степени.
- Точный куб: все показатели делятся на 3, ∛216 = 6.
- Делится на 2 (последняя цифра чётная); 3 (сумма цифр делится на 3); 4 (две последние цифры делятся на 4); 6 (делится на 2 и на 3); 8 (три последние цифры делятся на 8); 9 (сумма цифр делится на 9).
- Функция Эйлера: чисел от 1 до 216, взаимно простых с 216, — φ(216) = 216 · (1 − 1/2) · (1 − 1/3) = 72.
Если в разложении числа нет какого-то простого, число на него не делится: у 216 нет множителей 5, 7 — поэтому 216 на эти числа не делится.— Правило
НОД и НОК чисел 216 и 225 через разложение
Разложение нужно, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Разложим второе число: 225 = 3² · 5². НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: НОД(216, 225) = 3² = 9. НОК — все множители в наибольших степенях: НОК(216, 225) = 2³ · 3³ · 5² = 5 400.
Проверка: НОД · НОК = 9 · 5 400 = 48 600 = 216 · 225. Для других пар чисел — калькулятор НОД и НОК.
Соседние числа и их разложения
Все простые числа до 1000 и проверка любого числа — на странице «Таблица простых чисел».
- Математика. 6 класс — простые и составные числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. Школьный учебник.
- Основы теории чисел — основная теорема арифметики, число и сумма делителей, функция Эйлера. И. М. Виноградов. Москва, Наука.
