Чему равен синус 10 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 10° эта точка — (0,9848; 0,1736), поэтому sin 10° ≈ 0,173648, а cos 10° ≈ 0,984808. Точной записи через квадратные корни у синуса 10 градусов нет, поэтому в задачах берут десятичное приближение: в четырёхзначной таблице Брадиса — 0,1736.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 10°: tg 10° ≈ 0,176327, ctg 10° ≈ 5,671282. Проверка по основному тождеству: sin² 10° + cos² 10° = 0,030154 + 0,969846 = 1.
cos 10° ≈ 0,984808
Как получить значение
Синус целого числа градусов записывается квадратными корнями, только когда угол кратен 3°. 10° не кратен 3°, но утроенный угол 30° — «табличный»: sin 30° = 1/2. По формуле синуса тройного угла sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α число x = sin 10° — корень кубического уравнения:
Вручную синус считают по ряду Тейлора sin x = x − x³/6 + x⁵/120 − …, где x — угол в радианах. Для 10°: x = 0,174533; x³/6 = 0,0008861; x⁵/120 = 1,35 · 10⁻⁶. Сумма трёх членов — 0,17364818, точное значение — 0,17364818: разница 9,78 · 10⁻¹⁰, то есть три члена дают восемь верных знаков.
Четверть и знаки
Угол 10° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 10° = cos 80°, cos 10° = sin 80°, tg 10° = ctg 80°. Поэтому таблица для угла 80° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 20° = 2 sin 10° cos 10° = 0,34202, cos 20° = cos² 10° − sin² 10° = 0,939693. Угол 20° разобран на отдельной странице. Если угол 10° отложить по часовой стрелке, получится −10°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−10°) = −0,173648, cos(−10°) = 0,984808.
10 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 10° = 10 · π/180 = π/18 рад ≈ 0,174533 рад. Это 0,0278 полного оборота, или 11,1111 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 10° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(10)), в JavaScript — Math.sin(10 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 10°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 10° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 10° = 4 · 0,1736 ≈ 0,69 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 10° ≈ 3,94 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 10° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 10° = 3 ÷ 0,1763 ≈ 17,01 м. Солнце ниже 45°, поэтому тень длиннее самого столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 10°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 10° = 9,81 · 0,1736 ≈ 1,7 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 10° ≈ 9,66 Н.
Уклон. Скат под углом 10° к горизонту — это уклон tg 10° × 100 ≈ 17,6 % (подробно — на странице «угол 10° в процентах»).
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
- Solution of polynomials by real radicals — когда корни многочлена записываются вещественными радикалами. I. M. Isaacs. The American Mathematical Monthly, vol. 92. 1985.
