Чему равен синус 80 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 80° эта точка — (0,1736; 0,9848), поэтому sin 80° ≈ 0,984808, а cos 80° ≈ 0,173648. Точной записи через квадратные корни у синуса 80 градусов нет, поэтому в задачах берут десятичное приближение: в четырёхзначной таблице Брадиса — 0,9848.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 80°: tg 80° ≈ 5,671282, ctg 80° ≈ 0,176327. Проверка по основному тождеству: sin² 80° + cos² 80° = 0,969846 + 0,030154 = 1.
cos 80° ≈ 0,173648
Как получить значение
Синус целого числа градусов записывается квадратными корнями, только когда угол кратен 3°. 80° не кратен 3°, но утроенный угол 240° — «табличный»: sin 240° = −√3/2. По формуле синуса тройного угла sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α число x = sin 80° — корень кубического уравнения:
Четверть и знаки
Угол 80° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 80° = cos 10°, cos 80° = sin 10°, tg 80° = ctg 10°. Поэтому таблица для угла 10° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 160° = 2 sin 80° cos 80° = 0,34202, cos 160° = cos² 80° − sin² 80° = −0,939693. Если угол 80° отложить по часовой стрелке, получится −80°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−80°) = −0,984808, cos(−80°) = 0,173648.
80 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 80° = 80 · π/180 = 4π/9 рад ≈ 1,396263 рад. Это 0,2222 полного оборота, или 88,8889 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 80° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(80)), в JavaScript — Math.sin(80 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 80°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 80° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 80° = 4 · 0,9848 ≈ 3,94 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 80° ≈ 0,69 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 80° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 80° = 3 ÷ 5,6713 ≈ 0,53 м. Солнце выше 45°, поэтому тень короче столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 80°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 80° = 9,81 · 0,9848 ≈ 9,66 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 80° ≈ 1,7 Н.
Уклон. Скат под углом 80° к горизонту — это уклон tg 80° × 100 ≈ 567,1 %.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
- Solution of polynomials by real radicals — когда корни многочлена записываются вещественными радикалами. I. M. Isaacs. The American Mathematical Monthly, vol. 92. 1985.
