Чему равен синус 15 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 15° эта точка — (0,9659; 0,2588), поэтому sin 15° = (√6 − √2)/4 ≈ 0,258819, а cos 15° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,965926. Угол входит в число «табличных»: его синус и косинус записываются точно, через дроби и квадратные корни, и такую запись ждут в ответе школьной задачи.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 15°: tg 15° = 2 − √3 ≈ 0,267949, ctg 15° = 2 + √3 ≈ 3,732051. Проверка по основному тождеству: sin² 15° + cos² 15° = 0,066987 + 0,933013 = 1.
cos 15° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,965926
Как получить значение
Угол 15° — разность 45° и 30°: sin 15° = sin 45° · cos 30° − cos 45° · sin 30° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4.
Четверть и знаки
Угол 15° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 15° = cos 75°, cos 15° = sin 75°, tg 15° = ctg 75°. Поэтому таблица для угла 75° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 30° = 2 sin 15° cos 15° = 0,5, cos 30° = cos² 15° − sin² 15° = 0,866025. Угол 30° разобран на отдельной странице. Если угол 15° отложить по часовой стрелке, получится −15°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−15°) = −0,258819, cos(−15°) = 0,965926.
15 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 15° = 15 · π/180 = π/12 рад ≈ 0,261799 рад. Это 0,0417 полного оборота, или 16,6667 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 15° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(15)), в JavaScript — Math.sin(15 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 15°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 15° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 15° = 4 · 0,2588 ≈ 1,04 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 15° ≈ 3,86 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 15° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 15° = 3 ÷ 0,2679 ≈ 11,2 м. Солнце ниже 45°, поэтому тень длиннее самого столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 15°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 15° = 9,81 · 0,2588 ≈ 2,54 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 15° ≈ 9,48 Н.
Уклон. Скат под углом 15° к горизонту — это уклон tg 15° × 100 ≈ 26,8 % (подробно — на странице «угол 15° в процентах»).
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
