Чему равен синус 30 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 30° эта точка — (0,8660; 0,5000), поэтому sin 30° = 1/2 = 0,5, а cos 30° = √3/2 ≈ 0,866025. Угол входит в число «табличных»: его синус и косинус записываются точно, через дроби и квадратные корни, и такую запись ждут в ответе школьной задачи.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 30°: tg 30° = √3/3 ≈ 0,57735, ctg 30° = √3 ≈ 1,732051. Проверка по основному тождеству: sin² 30° + cos² 30° = 0,25 + 0,75 = 1.
cos 30° = √3/2 ≈ 0,866025
Как получить значение
Проведите высоту в равностороннем треугольнике со стороной 2: она делит его на два прямоугольных треугольника с углами 30° и 60°. Катет против угла 30° равен 1, гипотенуза — 2, поэтому sin 30° = 1/2; второй катет по теореме Пифагора — √3, отсюда cos 30° = √3/2.
Четверть и знаки
Угол 30° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 30° = cos 60°, cos 30° = sin 60°, tg 30° = ctg 60°. Поэтому таблица для угла 60° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 60° = 2 sin 30° cos 30° = 0,866025, cos 60° = cos² 30° − sin² 30° = 0,5. Угол 60° разобран на отдельной странице. Если угол 30° отложить по часовой стрелке, получится −30°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−30°) = −0,5, cos(−30°) = 0,866025.
30 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 30° = 30 · π/180 = π/6 рад ≈ 0,523599 рад. Это 0,0833 полного оборота, или 33,3333 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 30° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(30)), в JavaScript — Math.sin(30 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 30°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 30° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 30° = 4 · 0,5000 ≈ 2 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 30° ≈ 3,46 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 30° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 30° = 3 ÷ 0,5774 ≈ 5,2 м. Солнце ниже 45°, поэтому тень длиннее самого столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 30°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 30° = 9,81 · 0,5000 ≈ 4,91 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 30° ≈ 8,5 Н.
Уклон. Скат под углом 30° к горизонту — это уклон tg 30° × 100 ≈ 57,7 % (подробно — на странице «угол 30° в процентах»).
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
