Чему равен синус 225 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 225° эта точка — (−0,7071; −0,7071), поэтому sin 225° = −√2/2 ≈ −0,707107, а cos 225° = −√2/2 ≈ −0,707107. Угол входит в число «табличных»: его синус и косинус записываются точно, через дроби и квадратные корни, и такую запись ждут в ответе школьной задачи.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 225°: tg 225° = 1, ctg 225° = 1. Проверка по основному тождеству: sin² 225° + cos² 225° = 0,5 + 0,5 = 1.
cos 225° = −√2/2 ≈ −0,707107
Как получить значение
Угол 225° больше прямого, поэтому его сводят к острому углу 45° по формуле приведения: 225° = 180° + 45°. При переходе через 180° или 360° название функции сохраняется, а знак берут тот, какой у исходной функции в третьей четверти. Получаем sin 225° = −sin 45° = −√2/2, cos 225° = −cos 45° = −√2/2.
Откуда берётся значение для 45°. Возьмите равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 1: гипотенуза по теореме Пифагора — √2, оба острых угла — по 45°. sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2, а тангенс — отношение равных катетов, то есть 1.
Четверть и знаки
Угол 225° лежит в третьей четверти (от 180° до 270°). Здесь синус отрицателен, косинус отрицателен, тангенс и котангенс положительны. Опорный острый угол — 45°: модули всех функций угла 225° совпадают с функциями 45°, подробно — на странице «синус 45 градусов».
Формулы приведения для 225°
Угол 225° можно записать двумя способами — через горизонтальную ось (180° + 45°) и через вертикальную (270° − 45°). В первом случае функция сохраняет название, во втором меняется на «кофункцию»: синус на косинус, тангенс на котангенс. Знак в обоих случаях — тот, какой у исходной функции в третьей четверти. В школе это запоминают как «правило лошади»: у вертикальной оси (90°, 270°) голова кивает «да» — функция меняется, у горизонтальной (180°, 360°) качает «нет» — остаётся.
225 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 225° = 225 · π/180 = 5π/4 рад ≈ 3,926991 рад. Это 0,625 полного оборота, или 250 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 225° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(225)), в JavaScript — Math.sin(225 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 225°
Поворот точки. Точку на окружности радиусом 5 см с центром в начале координат повернули от оси Ox на 225° против часовой стрелки. Её координаты — x = 5 · cos 225° = −3,536 и y = 5 · sin 225° = −3,536. Так же поворачивают фигуры в компьютерной графике и считают положение стрелки прибора.
Проекции вектора. Сила 100 Н направлена под углом 225° к оси Ox. Её проекции на оси: Fx = 100 · cos 225° = −70,71 Н, Fy = 100 · sin 225° = −70,71 Н. Знаки проекций совпадают со знаками косинуса и синуса угла 225°.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
