Чему равен синус 85 градусов
Синус угла — это ордината точки единичной окружности, до которой доходит луч, повёрнутый от оси Ox на этот угол против часовой стрелки; косинус — абсцисса той же точки. Для угла 85° эта точка — (0,0872; 0,9962), поэтому sin 85° ≈ 0,996195, а cos 85° ≈ 0,087156. Точной записи через квадратные корни у синуса 85 градусов нет, поэтому в задачах берут десятичное приближение: в четырёхзначной таблице Брадиса — 0,9962.
Тангенс — отношение синуса к косинусу, котангенс — наоборот. Для 85°: tg 85° ≈ 11,430052, ctg 85° ≈ 0,087489. Проверка по основному тождеству: sin² 85° + cos² 85° = 0,992404 + 0,007596 = 1.
cos 85° ≈ 0,087156
Как получить значение
Синус целого числа градусов записывается квадратными корнями, только когда угол кратен 3°. 85° не кратен 3°, но утроенный угол 255° — «табличный»: sin 255° = −(√6 + √2)/4. По формуле синуса тройного угла sin 3α = 3 sin α − 4 sin³α число x = sin 85° — корень кубического уравнения:
Четверть и знаки
Угол 85° лежит в первой четверти (от 0° до 90°). Здесь синус положителен, косинус положителен, тангенс и котангенс положительны. В первой четверти все четыре функции положительны: точка единичной окружности лежит правее и выше начала координат.
Связь с другими углами
Синус угла равен косинусу дополнительного угла, а тангенс — котангенсу: sin 85° = cos 5°, cos 85° = sin 5°, tg 85° = ctg 5°. Поэтому таблица для угла 5° — та же, только функции меняются местами.
Функции двойного угла: sin 170° = 2 sin 85° cos 85° = 0,173648, cos 170° = cos² 85° − sin² 85° = −0,984808. Если угол 85° отложить по часовой стрелке, получится −85°: синус и тангенс поменяют знак, косинус останется прежним — sin(−85°) = −0,996195, cos(−85°) = 0,087156.
85 градусов в радианах
Полный оборот — 360°, или 2π радиан, поэтому 1° = π/180 рад. Угол 85° = 85 · π/180 = 17π/36 рад ≈ 1,48353 рад. Это 0,2361 полного оборота, или 94,4444 град (в геодезии прямой угол — 100 град). Калькуляторы и языки программирования принимают угол в радианах: в Excel синус 85° считают формулой =SIN(РАДИАНЫ(85)), в JavaScript — Math.sin(85 * Math.PI / 180).
Примеры задач с углом 85°
Лестница. Приставная лестница длиной 4 м стоит под углом 85° к полу. Верх достаёт до высоты 4 · sin 85° = 4 · 0,9962 ≈ 3,98 м, а низ отстоит от стены на 4 · cos 85° ≈ 0,35 м.
Тень. Солнце стоит на высоте 85° над горизонтом. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 3 ÷ tg 85° = 3 ÷ 11,4301 ≈ 0,26 м. Солнце выше 45°, поэтому тень короче столба.
Наклонная плоскость. Брусок массой 1 кг лежит на плоскости с углом наклона 85°. Вдоль плоскости его тянет вниз составляющая силы тяжести m · g · sin 85° = 9,81 · 0,9962 ≈ 9,77 Н, а прижимает к плоскости m · g · cos 85° ≈ 0,85 Н.
Уклон. Скат под углом 85° к горизонту — это уклон tg 85° × 100 ≈ 1143 %.
Таблица соседних углов
Полная таблица — с шагом 1° от 0 до 90° и точными значениями для углов до 360° — на странице «Таблица синусов и косинусов».
Синусы 0°, 30°, 45°, 60° и 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 и √4/2; косинусы — те же числа в обратном порядке.— Как запомнить
- Геометрия. 7–9 классы — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и другие. Школьный учебник.
- Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы — тригонометрические функции, формулы приведения. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и другие. Школьный учебник.
- Четырёхзначные математические таблицы (таблицы Брадиса). В. М. Брадис. Первое издание — 1921 г., переиздаются для школ.
- Solution of polynomials by real radicals — когда корни многочлена записываются вещественными радикалами. I. M. Isaacs. The American Mathematical Monthly, vol. 92. 1985.
